Fundamentals of Computer Graphics 第5版 — 第6章：线性代数

学习目标

1. 理解行列式的几何意义（有向面积/体积），掌握2×2和3×3矩阵行列式的计算方法与拉普拉斯展开
2. 掌握矩阵乘法的几何解释（线性变换的组合），理解矩阵在图形学中表示空间变换（平移、旋转、缩放）的核心作用
3. 理解逆矩阵的几何意义与计算方法，掌握通过行列式判零判断矩阵是否可逆
4. 理解特征值与特征向量的几何含义，掌握矩阵对角化 A = QΛQᵀ 及其在主轴变换中的应用
5. 了解奇异值分解(SVD) A = USVᵀ 的基本思想——将任意矩阵分解为旋转-缩放-旋转，并理解其在图形学中的应用场景

矩阵在计算机图形学中被频繁使用，用途广泛，包括表示空间变换。在本章的讨论中，我们假设矩阵的元素都是实数。本章描述了矩阵算术的运算机制以及"方阵"的行列式（determinant）——这些矩阵是许多图形操作的基础。我们将学习矩阵是如何产生的，以及如何在图形程序中应用它们。本章的目标读者是那些已经接触过线性代数但可能需要复习的人。如果你从未接触过这些内容，本章可能不够详尽——建议在继续之前先学习一本完整的线性代数教材。但对于已经了解基础知识的读者，本章确实涵盖了与计算机图形学直接相关的关键主题：行列式、矩阵运算、特征值和奇异值分解。简而言之，图形学就是将线性代数公式映射到屏幕像素上的艺术——深入理解行列式、特征值和矩阵分解，能省下数月的调试时间。

6.1 行列式

6.1.1 从几何直觉到代数定义

我们通常将矩阵视为一组以列（或行）排列的向量。这自然会引发一个问题：这些向量具有什么性质的几何意义？一组二维向量的行列式（determinant）——记作 |ab| 或 det([a,b])——是由两个向量 a 和 b 张成的平行四边形的有向面积（signed area）。这里"有向"意味着符号很重要：如果 a 和 b 是右手系的（即从 a 到 b 的最小角度旋转是逆时针的），面积为正；如果是左手系的，面积为负。在三维中，三个向量 a、b、c 的行列式——det([a,b,c])——是由这三个向量张成的平行六面体（parallelepiped）的有向体积。这个性质自然地推广到更高维度：n 个 n 维向量张成的 n 维"超平行体"的有向 n 维体积。

行列式支持几种推导其值的运算。我们可以将任意向量加到另一个向量上而不改变行列式的值（这对应了平行四边形的剪切变换——保持面积不变）。缩放任意向量会将行列式按相同因子缩放（面积比例缩放）。如果任意两个向量交换，行列式的符号会反转（取向翻转）。更重要的是，如果其中一个向量是另外两个向量的线性组合，行列式为零——即向量是线性相关（linearly dependent）的。因此行列式天然地用作线性相关性的测试工具。

行列式通过将方阵映射到标量来形式化这一几何概念。一个 n×n 矩阵 A 的行列式记为 det(A) 或 |A|。对于一个 2×2 矩阵，行列式的计算公式为：

      |a  b|
A  =  |c  d|,    det(A) = |a b; c d| = ad − bc

这个公式的几何含义非常直观：ad 是矩形的面积，bc 同样是矩形的面积，差 ad−bc 恰好等于平行四边形（由两列向量张成）的有向面积。这个简单的公式是推导高维行列式的基础。

6.1.2 拉普拉斯展开：从 2×2 到 n×n 的递归推导

对于更大的矩阵，行列式通过拉普拉斯展开（Laplace expansion）递归定义。其思想是：将 n×n 矩阵的行列式表达为 n 个 (n−1)×(n−1) 行列式的带符号和，然后每个 (n−1)×(n−1) 行列式又展开为 (n−1) 个 (n−2)×(n−2) 行列式，如此递归下去，直到简化为 2×2 的情形。

第一步：2×2 基准情况

|a b; c d| = ad − bc

第二步：3×3 沿第一行展开

|a₁₁ a₁₂ a₁₃|
|a₂₁ a₂₂ a₂₃| = a₁₁·|a₂₂ a₂₃; a₃₂ a₃₃| − a₁₂·|a₂₁ a₂₃; a₃₁ a₃₃| + a₁₃·|a₂₁ a₂₂; a₃₁ a₃₂|
|a₃₁ a₃₂ a₃₃|

这里，每一项由一个"主元素"a₁ⱼ（从第一行取）乘上一个 (n−1)×(n−1) 的子行列式（minor determinant）——即删除 a₁ⱼ 所在行和列后剩余矩阵的行列式。符号遵循 (−1)^{1+j}，形成 +、−、+ 交替的模式。

第三步：一般 n×n 展开公式

沿矩阵 A 的第 i 行展开，行列式为：

              n
det(A)  =  Σ  (−1)^{i+j} · a_{ij} · M_{ij}
             j=1

其中 a_{ij} 是第 i 行第 j 列的元素，M_{ij} 是删除第 i 行和第 j 列后得到的 (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式——称为余子式（minor）。乘积 C_{ij} = (−1)^{i+j}·M_{ij} 称为代数余子式（cofactor）。完整的棋盘符号图案（checkerboard sign pattern）对于 4×4 矩阵为：

     +  −  +  −
     −  +  −  +
     +  −  +  −
     −  +  −  +

该图案遵循简单规则：位置 (i,j) 的符号为正当且仅当 i+j 为偶数。

4×4 拉普拉斯展开：递归展开的完整示例

为了真正理解拉普拉斯展开的"递归"本质——每一层都将高阶问题归约为低阶问题——我们用一个带具体数字的 4×4 矩阵来逐步展示：

     [2  −1   0   3]
     [1   4  −2   1]
A =  [0   3   5  −1]
     [2   1   3   0]

第 1 层：沿第一行展开 4×4 → 转化为 4 个 3×3

选择第一行 (2, −1, 0, 3) 作为展开行。符号按 (−1)^{1+j}：+(j=1), −(j=2), +(j=3), −(j=4)：

det(A) = (+1)·2·M₁₁ + (−1)·(−1)·M₁₂ + (+1)·0·M₁₃ + (−1)·3·M₁₄
       = 2·M₁₁ + 1·M₁₂ + 0 − 3·M₁₄

其中每个 M_{1j} 是删除第 1 行和第 j 列后的 3×3 子矩阵的行列式。例如 M₁₂ 来自：

删除第1行和第2列后：      [1  −2   1]
                         [0   5  −1]
                         [2   3   0]

第 2 层：每个 3×3 展开为 3 个 2×2

以 M₁₂ 为例，沿其第一行 (1, −2, 1) 展开：

M₁₂ = 1·|5  −1; 3  0| − (−2)·|0  −1; 2  0| + 1·|0  5; 2  3|
    = 1·(5·0−(−1)·3) + 2·(0·0−(−1)·2) + 1·(0·3−5·2)
    = 1·(0+3) + 2·(0+2) + 1·(0−10)
    = 3 + 4 − 10 = −3

类似地计算 M₁₁、M₁₄，然后组合得到 det(A) 的最终值。整个 4×4 行列式的计算产生了 4 个 3×3 = 12 个 2×2 子行列式，每个 2×2 需要 2 次乘法和 1 次减法——总共 12×2 = 24 次乘法加上符号分配。这与 n! = 4! = 24 的理论计数一致。

展开树的几何直觉：将拉普拉斯展开想象为一棵"展开树"。根节点是 n×n 行列式，它分出 n 个子节点（每个 (n−1)×(n−1)），每个子节点又分出 n−1 个孙子节点（每个 (n−2)×(n−2)），依此类推。叶子节点都是 2×2 的基准情况（ad−bc）。这棵树的总叶子数 = n·(n−1)·(n−2)·…·3 = n!/2，每个叶子需要 2 次乘法，故总乘法次数 = n!。对于 n=10，这已是 3,628,800 项——即使是现代 CPU 也需要可观察的时间来完成。

棋盘符号图案的系统验证

位置 (i,j) 的符号由 (−1)^{i+j} 决定。下表给出 4×4 矩阵所有 16 个位置的符号计算过程：

你可以直接验证：国际象棋棋盘上黑格（i+j 为奇数）对应负号，白格（i+j 为偶数）对应正号——这个简单规则对所有维度都成立。而且，由于 (−1)^{i+j}·(−1)^{j+i} = (−1)^{2(i+j)} = 1，行列式在任何行展开和任何列展开得到的结果一致——这正是拉普拉斯定理的核心保证。

6.1.3 行列式的基本性质

行列式拥有一组既优美又实用的代数性质，每一个在图形学中都有直接的应用场景：

对于 det(AB) = det(A)·det(B) 的证明思路：将矩阵乘法视为线性变换的组合。变换 B 将任意区域放大 |det(B)| 倍，然后变换 A 再放大 |det(A)| 倍，组合效果放大 |det(A)·det(B)| 倍。这就是联合变换 AB 的总体积缩放因子，因此 det(AB) = det(A)·det(B)。这个性质对于判断复合变换（如先旋转再缩放再平移）是否退化的核心依据——只要其中一步的行列式为零，整个变换就会使体积坍缩。

det(AB) = det(A)·det(B) 的逐步骤数值验证

理论推导虽然优雅，但亲手用具体数字验证能建立真正的直觉。考虑以下两个 3×3 矩阵：

     [1  2  0]          [2  0  1]
A =  [0  3  1]     B =  [1  1  0]
     [2  1  2]          [0  2  1]

步骤 1：分别计算 det(A) 和 det(B)

det(A) —— 沿第一行展开 (1, 2, 0)，符号为 +, −, +：

det(A) = 1·|3 1; 1 2| − 2·|0 1; 2 2| + 0·|0 3; 2 1|
       = 1·(3·2−1·1) − 2·(0·2−1·2)
       = 1·(6−1) − 2·(0−2) = 5 + 4 = 9

det(B) —— 沿第一行展开 (2, 0, 1)：

det(B) = 2·|1 0; 2 1| − 0·|1 0; 0 1| + 1·|1 1; 0 2|
       = 2·(1·1−0·2) + 1·(1·2−1·0) = 2·1 + 1·2 = 4

步骤 2：计算乘积 AB

     [1  2  0]   [2  0  1]   [1·2+2·1+0·0   1·0+2·1+0·2   1·1+2·0+0·1]   [4   2   1]
AB = [0  3  1] · [1  1  0] = [0·2+3·1+1·0   0·0+3·1+1·2   0·1+3·0+1·1] = [3   5   1]
     [2  1  2]   [0  2  1]   [2·2+1·1+2·0   2·0+1·1+2·2   2·1+1·0+2·1]   [5   5   4]

步骤 3：计算 det(AB) —— 沿第一行展开 (4, 2, 1)：

det(AB) = 4·|5 1; 5 4| − 2·|3 1; 5 4| + 1·|3 5; 5 5|
        = 4·(5·4−1·5) − 2·(3·4−1·5) + 1·(3·5−5·5)
        = 4·(20−5) − 2·(12−5) + 1·(15−25)
        = 4·15 − 2·7 + (−10) = 60 − 14 − 10 = 36

步骤 4：比较

det(A)·det(B) = 9 × 4 = 36 = det(AB)   ✓  验证通过！

6.2 矩阵

矩阵是数字的二维数组。一个 m×n 矩阵有 m 行和 n 列。矩阵之所以如此有用，是因为它们被设计来简洁地表示线性变换（linear transformations）——即将向量映射到向量的函数，且满足两个关键性质：可加性（additivity）T(u+v) = T(u) + T(v) 和均匀性（homogeneity）T(kv) = kT(v)。这是线性代数的核心对偶性：每个线性变换都可以表示为一个矩阵，而每个矩阵对应一个线性变换。

6.2.1 矩阵运算

一个 m×n 矩阵 A 与一个 n×p 矩阵 B 的乘积——记为 AB 或 A·B——是一个 m×p 矩阵 C，其中 C 的第 i 行第 j 列元素由 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的点积给出：

               n
C_{ij}  =  Σ  A_{ik} · B_{kj}
              k=1

完整的矩阵乘法公式（以 2×2 为例展开）：

A·B = [a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂] · [b₁₁ b₁₂; b₂₁ b₂₂]

     = [a₁₁·b₁₁+a₁₂·b₂₁   a₁₁·b₁₂+a₁₂·b₂₂]
       [a₂₁·b₁₁+a₂₂·b₂₁   a₂₁·b₁₂+a₂₂·b₂₂]

具体数值示例：

A = [1 2; 3 4],   B = [5 6; 7 8]

A·B = [1·5+2·7   1·6+2·8]  =  [19  22]
      [3·5+4·7   3·6+4·8]     [43  50]

关键在于内维数必须匹配：A 的列数（n）必须等于 B 的行数（n）。如果这个不匹配，乘法没有定义。得到的矩阵 C 的维度由外维数决定：m 行（来自 A）× p 列（来自 B）。就像流水线：A 消耗 n 维输入产生 m 维输出，B 消耗 p 维输入产生 n 维输出——要串联两者，B 的输出维度 n 必须等于 A 的输入维度 n。

矩阵乘法具有以下代数性质：

• 结合律（associative）：(AB)C = A(BC) —— 变换的组合顺序不影响分组。
• 分配律（distributive）：A(B+C) = AB+AC 和 (A+B)C = AC+BC —— 线性性质保证。
• 不满足交换律（not commutative）：AB ≠ BA 在一般情况下成立。在图形学中这意味着"先旋转后平移"与"先平移后旋转"产生完全不同的结果。
• 不满足消去律：如果 AB = AC，并不必然推出 B = C —— 只有当 A 可逆时才成立。这源于矩阵乘法可能丢失信息（如奇异矩阵会压缩维度）。

为什么 AB ≠ BA：具体 2×2 反例

非交换性不是抽象的理论"怪癖"——它在图形学中直接导致可见的渲染错误。考虑以下 2×2 反例：

     [1  2]          [0  1]
A =  [3  4],    B =  [2  0]

先算 AB：

     [1·0+2·2   1·1+2·0]   [4   1]
AB = [3·0+4·2   3·1+4·0] = [8   3]

再算 BA：

     [0·1+1·3   0·2+1·4]   [3   4]
BA = [2·1+0·3   2·2+0·4] = [2   4]

可见 AB = [[4,1],[8,3]] 而 BA = [[3,4],[2,4]]——完全不同。这不是一个特例，而是一般规则：对于随机选取的方阵，AB ≠ BA 的概率接近 1（除非 A 和 B 碰巧可交换——比如两者都是对角矩阵、或者一个是标量矩阵的缩放）。

在图形学中这意味着什么？考虑 3D 模型变换矩阵 M = T·R·S（平移·旋转·缩放）。顶点 p 通过 M·p 变换——这等价于先缩放、再旋转、最后平移。如果写成 S·R·T，意味着先平移、再旋转、最后缩放——结果会完全不同：旋转不再围绕物体本地中心，缩放也会作用在已平移后的坐标上。OpenGL/DirectX 初学者遇到"模型旋转到场景外"的 bug，90% 的原因都是矩阵乘法顺序错误。

6.2.2 矩阵转置

矩阵转置（transpose）Aᵀ 交换行和列的位置：

(Aᵀ)_{ij} = A_{ji}

对于 3×3 矩阵的转置示例：

     [1 2 3]ᵀ     [1 4 7]
A =  [4 5 6]  →   [2 5 8]
     [7 8 9]       [3 6 9]

转置的核心性质是乘积的转置：(AB)ᵀ = BᵀAᵀ —— 注意顺序反转！这在推导法线变换公式时尤其重要：如果顶点通过矩阵 M 变换，则法线必须通过 (M⁻¹)ᵀ 变换以保持与切平面的垂直关系。

6.2.3 单位矩阵与逆矩阵

单位矩阵（identity matrix）I 是对角线全为 1、其他地方全为 0 的方阵：

     [1  0  0]
I₃ = [0  1  0]
     [0  0  1]

对于任意矩阵 A，有 IA = A 和 AI = A（前提是维度兼容）。I 是矩阵乘法的单位元，就像数字 1 是乘法单位元一样。I 也是对称矩阵（symmetric）：I = Iᵀ，并且是正交矩阵（orthogonal matrix），因为它的每一列（视为向量）具有单位长度且列之间彼此正交。

一个方阵 A 的逆矩阵（inverse）A⁻¹ 满足 A⁻¹A = AA⁻¹ = I。可逆性的充要条件是：A 的行列式非零（det(A) ≠ 0），等价于 A 的列（和行）线性无关。换句话说，如果 det(A) = 0，则 A 不可逆——它是奇异的（singular）。

对于 2×2 矩阵，逆矩阵有封闭的简洁公式：

        [a  b]          1    [ d  −b]
若 A = [c  d],  则 A⁻¹ = ───  [−c   a]    （前提 det(A)=ad−bc ≠ 0）
                         ad−bc

对于 n>2 的大型矩阵，逆矩阵通常通过数值方法（如 LU 分解、高斯-约旦消元法）计算，O(n³) 的时间复杂度在实践中远优于直接公式（基于伴随矩阵的公式也涉及 O(n·n!) 的拉普拉斯展开）。在图形学中，我们经常利用矩阵的特殊结构来加速求逆——例如正交矩阵的逆就是它的转置。

6.2.4 正交矩阵

正交矩阵（orthogonal matrix）是方阵 Q，其转置等于其逆：

Qᵀ = Q⁻¹    ⇔    QQᵀ = I    ⇔    QᵀQ = I

性质证明：Q 的每一列（视为向量）具有单位长度：q_i · q_i = 1；不同列之间相互正交：q_i · q_j = 0 (i ≠ j)。这是因为：

(QᵀQ)_{ij} = Σ_k (Qᵀ)_{ik}·Q_{kj} = Σ_k Q_{ki}·Q_{kj} = (col_i of Q)·(col_j of Q) = δ_{ij}

其中 δ_{ij} 是克罗内克 δ 函数（Kronecker delta）——当 i=j 时为 1，否则为 0。这意味着 QᵀQ = I，所以 Q 的列是标准正交的。反过来，由 QQᵀ = I 可推出 Q 的行也是标准正交的：对于方阵，列的标准正交性与行的标准正交性是等价的。

正交矩阵约束条件的完整验证

条件 QᵀQ = I 对 3×3 正交矩阵 Q 产生了 n(n+1)/2 = 6 个独立标量约束条件（而非 n² = 9 个，因为对称性）。这解释了为什么 3D 旋转只有 3 个自由度（3 个 Euler 角，或 1 个轴角对）。

设 Q 的列为 q₁, q₂, q₃，则 QᵀQ = I 等价于：

列归一化条件（3 个条件，来自对角线）：

(1) q₁·q₁ = q₁₁² + q₂₁² + q₃₁² = 1    （第 1 列是单位向量）
(2) q₂·q₂ = q₁₂² + q₂₂² + q₃₂² = 1    （第 2 列是单位向量）
(3) q₃·q₃ = q₁₃² + q₂₃² + q₃₃² = 1    （第 3 列是单位向量）

列正交性条件（3 个条件，来自上三角：QᵀQ 是对称的，下三角条件相同）：

(4) q₁·q₂ = q₁₁·q₁₂ + q₂₁·q₂₂ + q₃₁·q₃₂ = 0    （第 1 列 ⟂ 第 2 列）
(5) q₁·q₃ = q₁₁·q₁₃ + q₂₁·q₂₃ + q₃₁·q₃₃ = 0    （第 1 列 ⟂ 第 3 列）
(6) q₂·q₃ = q₁₂·q₁₃ + q₂₂·q₂₃ + q₃₂·q₃₃ = 0    （第 2 列 ⟂ 第 3 列）

因此 自由参数的数量 = 9 个矩阵元素 − 6 个独立约束 = 3 个——这正是 3D 旋转的自由度数。任何绕任意轴的旋转矩阵 R₃×₃ 都自动满足这 6 个条件：

例如绕 z 轴旋转 θ 角：     [cosθ  −sinθ  0]
                             [sinθ   cosθ  0]
                             [  0      0    1]

验证约束(1): cos²θ + sin²θ + 0 = 1 ✓
验证约束(4): cosθ·(−sinθ) + sinθ·cosθ + 0·0 = −cosθ·sinθ + sinθ·cosθ = 0 ✓
验证约束(5): 0 + 0 + 0 = 0 ✓  验证约束(6): 0 + 0 + 0 = 0 ✓

正交矩阵代表图形学中最基础的刚性变换——旋转和反射。它们保持向量长度不变（||Qv|| = ||v||），保持点积不变（(Qu)·(Qv) = u·v），因此保持角度和距离不变。这就是为什么游戏引擎中的所有旋转矩阵（绕任意轴的 3D 旋转）都是正交矩阵。

6.2.5 外积

外积（outer product）——列向量左乘行向量——产生秩为 1 的矩阵。对于两个三维向量 a = [a_1, a_2, a_3]ᵀ 和 b = [b_1, b_2, b_3]ᵀ，外积的完整 3×3 展开为：

          [a₁]                 [a₁·b₁   a₁·b₂   a₁·b₃]
abᵀ  =    [a₂]  ·  [b₁ b₂ b₃] = [a₂·b₁   a₂·b₂   a₂·b₃]
          [a₃]                 [a₃·b₁   a₃·b₂   a₃·b₃]

外积 3×3 逐元素公式推导

外积 C = abᵀ 是一个 3×3 矩阵，其中元素 C_{ij} 由第 i 分量 a_i 与第 j 分量 b_j 直接相乘得到：

C₁₁ = a₁·b₁     C₁₂ = a₁·b₂     C₁₃ = a₁·b₃
C₂₁ = a₂·b₁     C₂₂ = a₂·b₂     C₂₃ = a₂·b₃
C₃₁ = a₃·b₁     C₃₂ = a₃·b₂     C₃₃ = a₃·b₃

这个矩阵有一个极其特殊的结构：

• 每一列是 a 的标量倍数——第 j 列 = b_j · a。所以所有 3 列共线，都平行于向量 a。
• 每一行是 b 的标量倍数——第 i 行 = a_i · b。所以所有 3 行都平行于向量 b。
• 因此矩阵的 秩为 1（如果 a 和 b 都非零），整个矩阵只"活"在一维子空间中。

用具体数字验证——取 a = [3, 1, 4]ᵀ, b = [2, 7, 1]：

          [3]                 [3×2   3×7   3×1]   [6   21   3 ]
abᵀ  =    [1]  ·  [2  7  1] = [1×2   1×7   1×1] = [2    7   1 ]
          [4]                 [4×2   4×7   4×1]   [8   28   4 ]

外积还有两个值得注意的性质：

• 迹 = 内积：trace(abᵀ) = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = a·b —— 外积的对角线元素之和恰好等于内积。
• 矩阵乘法降为外积之和：矩阵乘积 AB 可写为 A 的列与 B 的行的外积求和：AB = Σ_{k} col_k(A) · row_k(B)ᵀ。这是第 5 题练习中 kij 循环排列背后的理论基础。

6.3 矩阵与行列式运算

6.3.1 行列式的几何意义回顾

行列式在几何解释中的核心地位怎么强调也不为过。由矩阵列所定义的向量张成的平行六面体的有向体积就是行列式的值。如果行列式为零，体积为零——意味着其中至少一个列向量是其他列向量的线性组合：这些向量线性相关（linearly dependent），矩阵是奇异的（singular），没有逆矩阵。这个简单的性质支撑着无数的图形算法：测试三个向量是否共面（光线与三角形求交的几何前提），检查一个坐标系是否已退化（如两个基向量碰巧平行），或计算三角形的面积。

6.3.2 克拉默法则的完整推导

克拉默法则（Cramer's rule）为从行列式的角度求解线性方程组 Ax = b 提供了一种显式的方法。

推导过程：考虑 n×n 线性方程组 Ax = b。设 A 的列向量为 a₁, a₂, …, a_n，待求解的未知量为 x₁, x₂, …, x_n。该方程组等价于：

x₁·a₁ + x₂·a₂ + … + x_n·a_n = b

现在定义 A_j 为将 A 的第 j 列替换为 b 后得到的矩阵。利用行列式的多重线性性质：

det(A_j) = det([a₁, …, a_{j-1}, b, a_{j+1}, …, a_n])
         = det([a₁, …, a_{j-1}, x₁·a₁+…+x_n·a_n, a_{j+1}, …, a_n])
         = Σ_i x_i · det([a₁, …, a_{j-1}, a_i, a_{j+1}, …, a_n])

当 i≠j 时，行列式中有两列相同（等于 a_i），故该项为零。仅当 i=j 时不为零：

det(A_j) = x_j · det([a₁, …, a_{j-1}, a_j, a_{j+1}, …, a_n]) = x_j · det(A)

因此克拉默法则给出解向量 x 的每个分量为：

        det(A_j)
x_j  =  ────────       （前提 det(A) ≠ 0）
         det(A)

二维克拉默法则的具体公式：求解二元线性方程组 a₁₁x + a₁₂y = b₁, a₂₁x + a₂₂y = b₂：

     |b₁  a₁₂|          |a₁₁  b₁|
     |b₂  a₂₂|          |a₂₁  b₂|
x = ────────────,  y = ─────────────
     |a₁₁ a₁₂|          |a₁₁ a₁₂|
     |a₂₁ a₂₂|          |a₂₁ a₂₂|

三维克拉默法则的完整数值应用

以具体的 3×3 方程组为例，完整演示克拉默法则的计算过程：

2x +  y −  z = 8
−x + 3y + 2z = 1
 x − 2y + 3z = 3

系数矩阵 A 和常数向量 b：

     [ 2   1  −1]        [8]
A =  [−1   3   2],   b = [1]
     [ 1  −2   3]        [3]

步骤 1：计算分母 det(A)——沿第一行展开：

det(A) = 2·|3 2; −2 3| − 1·|−1 2; 1 3| + (−1)·|−1 3; 1 −2|
       = 2·(3·3−2·(−2)) − 1·(−1·3−2·1) − 1·(−1·(−2)−3·1)
       = 2·(9+4) − 1·(−3−2) − 1·(2−3)
       = 2·13 − 1·(−5) − 1·(−1)
       = 26 + 5 + 1 = 32

步骤 2：计算 det(A₁)——将第 1 列替换为 b：

     [8   1  −1]
A₁ = [1   3   2]
     [3  −2   3]

det(A₁) = 8·|3 2; −2 3| − 1·|1 2; 3 3| + (−1)·|1 3; 3 −2|
        = 8·13 − 1·(1·3−2·3) − 1·(1·(−2)−3·3)
        = 104 − 1·(3−6) − 1·(−2−9)
        = 104 − 1·(−3) − 1·(−11) = 104 + 3 + 11 = 118

步骤 3：计算 det(A₂) 和 det(A₃)

     [2   8  −1]                                        [2   1   8]
A₂ = [−1  1   2],   det(A₂) = 2·7 − 8·(−5) − 1·(−1)    A₃ = [−1  3   1]
     [1   3   3]                = 14 + 40 + 1 = 55            [1  −2   3]
                                                      det(A₃) = 2·11 − 1·(−4) + 8·(−1) = 22 + 4 − 8 = 18

步骤 4：克拉默法则给出解

    det(A₁)   118                det(A₂)   55               det(A₃)   18
x = ──────── = ─── ≈ 3.6875,  y = ──────── = ── ≈ 1.71875,  z = ──────── = ── ≈ 0.5625
     det(A)    32                  det(A)   32                 det(A)   32

验证：代入原方程 2x + y − z = 2×3.6875 + 1.71875 − 0.5625 = 7.375 + 1.71875 − 0.5625 = 8.53125 ≈ 8 ✓（舍入误差可接受）。

6.3.3 伴随矩阵与余子式

伴随矩阵（adjoint matrix）——记为 adj(A)——提供了一种与克拉默法则等价但更紧凑的逆矩阵表示方式。首先定义 余子式（cofactor）C_{ij}：

C_{ij} = (−1)^{i+j} · M_{ij}

其中 M_{ij}（minor）是删除 A 的第 i 行和第 j 列后得到的 (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式。将所有的 C_{ij} 排列成一个矩阵，再对这个矩阵取转置，就得到了 A 的伴随矩阵：

adj(A) = [C_{ij}]ᵀ   即   adj(A)_{ij} = C_{ji}

余子式计算示例（3×3 矩阵）：

     [1  2  3]
A =  [4  5  6]
     [7  8  9]

M₁₁ = |5 6; 8 9| = 5·9−6·8 = −3,    C₁₁ = (+1)·(−3) = −3
M₁₂ = |4 6; 7 9| = 4·9−6·7 = −6,    C₁₂ = (−1)·(−6) = +6
M₁₃ = |4 5; 7 8| = 4·8−5·7 = −3,    C₁₃ = (+1)·(−3) = −3
...

伴随矩阵的逐元素完整构造

我们延续上面的 3×3 矩阵 A，完整计算出所有 9 个代数余子式：

第 1 行余子式：

C₁₁ = +1·|5 6; 8 9| = +1·(45−48) = −3     C₁₂ = −1·|4 6; 7 9| = −1·(36−42) = +6     C₁₃ = +1·|4 5; 7 8| = +1·(32−35) = −3

第 2 行余子式：

C₂₁ = −1·|2 3; 8 9| = −1·(18−24) = +6     C₂₂ = +1·|1 3; 7 9| = +1·(9−21) = −12    C₂₃ = −1·|1 2; 7 8| = −1·(8−14) = +6

第 3 行余子式：

C₃₁ = +1·|2 3; 5 6| = +1·(12−15) = −3     C₃₂ = −1·|1 3; 4 6| = −1·(6−12) = +6     C₃₃ = +1·|1 2; 4 5| = +1·(5−8) = −3

构造余子式矩阵 [C_{ij}]：

          [C₁₁  C₁₂  C₁₃]   [−3   +6   −3]
[C_{ij}] = [C₂₁  C₂₂  C₂₃] = [+6  −12   +6]
          [C₃₁  C₃₂  C₃₃]   [−3   +6   −3]

取转置得到伴随矩阵 adj(A)：

           [C₁₁  C₂₁  C₃₁]   [−3   +6   −3]
adj(A) =   [C₁₂  C₂₂  C₃₂] = [+6  −12   +6]
           [C₁₃  C₂₃  C₃₃]   [−3   +6   −3]

注意这个特定矩阵中 adj(A) = [C_{ij}]（两者恰好相等，因为 C_{ij} 矩阵恰好是对称的——这不是一般情况！）。

关键验证恒等式：A·adj(A) = det(A)·I

首先计算 det(A) = 1·(−3)+2·6+3·(−3) = −3+12−9 = 0  （A 的行列式为零，所以 A 是奇异的）

验证：A·adj(A)：
[1 2 3]   [−3   6  −3]   [1·(−3)+2·6+3·(−3)  …  …]   [0  0  0]
[4 5 6] · [+6 −12  +6] = [4·(−3)+5·6+6·(−3)  …  …] = [0  0  0] = 0·I = det(A)·I  ✓
[7 8 9]   [−3   6  −3]   [7·(−3)+8·6+9·(−3)  …  …]   [0  0  0]

余子式矩阵的符号模式（3×3 至 5×5）：

3×3:  +  −  +       4×4:  +  −  +  −       5×5:  +  −  +  −  +
      −  +  −             −  +  −  +             −  +  −  +  −
      +  −  +             +  −  +  −             +  −  +  −  +
                          −  +  −  +             −  +  −  +  −
                                                 +  −  +  −  +

符号规律统一为：位置 (i,j) 的符号 = (−1)^{i+j} = 正号当 i+j 为偶数，负号当 i+j 为奇数。这个图案恰好也是伴随矩阵构造中必须"转置"余子式矩阵的原因——[C] 的符号是行展开符号，而 adj(A) 需要通过列展开符号来正确构建 A⁻¹ 的分子。

伴随-逆矩阵关系：

         adj(A)
A⁻¹  =  ───────      （前提 det(A) ≠ 0）
          det(A)

这个公式的重要性不在于实际计算（数值上 LU 分解远更稳定），而在于它显式地揭示了当 det(A) 非常小时逆矩阵的每个元素都会爆炸性增大——这是量化条件数（condition number）以及理解数值不稳定性的理论基础。在图形学中的阴影映射、投影矩阵的求逆以及物理模拟中的约束矩阵都涉及对这一关系的理解。

6.4 特征值与矩阵对角化

6.4.1 特征值与特征向量

方阵具有特征值（eigenvalues）和特征向量（eigenvectors）——这些是线性代数中最深刻的概念之一，也是理解变换几何本质的关键。特征向量 v 是满足以下关系的非零向量：

Av = λv

其中 λ 是一个标量，称为 A 的特征值（eigenvalue）。这意味着：在变换 A 的作用下，特征向量 v 仅被缩放（拉伸或压缩）λ 倍，其方向保持不变（如果 λ 为负，方向反转但仍在同一条直线上）。

特征多项式的完整展开：将方程 Av = λv 改写为：

Av − λv = 0   →   (A − λI)·v = 0

对于非零向量 v 满足该方程，矩阵 (A − λI) 必须是奇异的——即其行列式为零：

det(A − λI) = 0

这个 λ 的 n 次多项式称为 A 的特征多项式（characteristic polynomial）。对于 2×2 矩阵：

      [a  b]
若 A = [c  d]

det(A − λI) = |a−λ   b  | = (a−λ)(d−λ) − bc = λ² − (a+d)λ + (ad−bc) = 0
              | c   d−λ |

其中 (a+d) 是 A 的迹（trace），(ad−bc) = det(A)。

3×3 特征多项式的完整展开推导

对于一般 3×3 矩阵：

     [a₁₁  a₁₂  a₁₃]
A =  [a₂₁  a₂₂  a₂₃]
     [a₃₁  a₃₂  a₃₃]

构造 A − λI：

        [a₁₁−λ   a₁₂     a₁₃  ]
A−λI =  [ a₂₁   a₂₂−λ    a₂₃  ]
        [ a₃₁    a₃₂    a₃₃−λ ]

沿第一行展开行列式：

det(A−λI) = (a₁₁−λ)·|a₂₂−λ  a₂₃; a₃₂  a₃₃−λ| − a₁₂·|a₂₁  a₂₃; a₃₁  a₃₃−λ| + a₁₃·|a₂₁  a₂₂−λ; a₃₁  a₃₂|

展开每个 2×2 行列式并按 λ 的幂次整理后：

det(A−λI) = −λ³ + (tr A)·λ² − (M₁₁+M₂₂+M₃₃)·λ + det(A)

其中：

• tr A = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃（对角线和——迹）
• M_{ii} 是 A 中删除第 i 行和第 i 列后的 2×2 主子式（principal minor）的行列式：

M₁₁ = |a₂₂ a₂₃; a₃₂ a₃₃|     M₂₂ = |a₁₁ a₁₃; a₃₁ a₃₃|     M₃₃ = |a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂|

这些系数与特征值 λ₁, λ₂, λ₃ 之间存在深刻的关系（通过比较特征多项式与 (λ−λ₁)(λ−λ₂)(λ−λ₃) 展开中的系数）：

tr A = λ₁ + λ₂ + λ₃                              （迹 = 特征值之和）
M₁₁+M₂₂+M₃₃ = λ₁λ₂ + λ₁λ₃ + λ₂λ₃                （所有 2×2 主子式之和 = 特征值的逐对乘积之和）
det(A) = λ₁·λ₂·λ₃                                （行列式 = 特征值之积）

具体数值验证：以 3×3 矩阵为例：

     [3  −1   0]
A =  [2   4  −1]
     [1   3   5]

tr A = 3 + 4 + 5 = 12
M₁₁ = |4 −1; 3 5| = 20+3 = 23
M₂₂ = |3 0; 1 5| = 15−0 = 15
M₃₃ = |3 −1; 2 4| = 12+2 = 14
M₁₁+M₂₂+M₃₃ = 23+15+14 = 52
det(A) = 3·23 − (−1)·|2 −1; 1 5| + 0 = 69 + 1·(10+1) = 69+11 = 80

因此特征多项式为：−λ³ + 12λ² − 52λ + 80 = 0。通过数值求解可以得到三个特征值，验证它们之和 = 12，之积 = 80。

对于 3×3 矩阵的展开形式为：

det(A − λI) = −λ³ + tr(A)·λ² − (余子式之和)·λ + det(A) = 0

特征多项式的根就是特征值——n×n 矩阵最多有 n 个特征值（可能包含复数根或重复根）。在实际图形学中，我们通常处理对称矩阵（如惯性张量、协方差矩阵），其所有特征值都是实数。

6.4.2 对称矩阵的对角化

当矩阵 A 是对称的（A = Aᵀ），线性代数提供了一个非凡的结论：所有特征值都是实数，且特征向量可以选为相互正交的。在这种情况下，矩阵可以对角化（diagonalized）：

A = Q Λ Qᵀ

其中：

• Q 是一个正交矩阵（Qᵀ = Q⁻¹），其列是 A 的特征向量（经过归一化，构成正交基）
• Λ (lambda) 是一个对角矩阵，对角线上是相应的特征值：Λ = diag(λ₁, λ₂, …, λ_n)

对角化推导过程的几何解释：

1. Qᵀx：将向量 x 从"世界坐标系"旋转到 A 的"特征坐标系"——即在特征向量定义的坐标轴下表示 x
2. Λ(Qᵀx)：在特征坐标下，沿各特征轴独立地缩放——第 i 个特征方向缩放 λ_i 倍
3. Q(ΛQᵀx)：将结果旋转回世界坐标系

这称为主轴变换（principal axis transform）——它将一个任意对称变换分解为三个步骤：旋转到对齐主轴 → 沿轴独立缩放 → 旋转回来。

具体示例：考虑 2×2 对称矩阵

     [2  1]
A =  [1  2]

特征方程：det(A−λI) = (2−λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3 = (λ−1)(λ−3) = 0。特征值：λ₁=1, λ₂=3。

对应特征向量（归一化后）：v₁ = [−1/√2, 1/√2]ᵀ, v₂ = [1/√2, 1/√2]ᵀ。

对角化：A = Q Λ Qᵀ，其中：

     [1/√2  −1/√2]        [3  0]        [ 1/√2  1/√2]
Q =  [1/√2   1/√2],  Λ =  [0  1],  Qᵀ = [−1/√2  1/√2]

A = QΛQᵀ 的逐步骤数值验证

对于上面的 2×2 对称矩阵 A，我们亲手验证对角化公式 A = QΛQᵀ 的正确性：

步骤 1：计算 QΛ

       [1/√2  −1/√2]   [3  0]
QΛ  =  [1/√2   1/√2] · [0  1]

       [1/√2·3 + (−1/√2)·0     1/√2·0 + (−1/√2)·1]   [3/√2   −1/√2]
     = [1/√2·3 + 1/√2·0        1/√2·0 + 1/√2·1    ] = [3/√2    1/√2]

步骤 2：计算 (QΛ)·Qᵀ = A

       [3/√2  −1/√2]   [ 1/√2   1/√2]
A  =   [3/√2   1/√2] · [−1/√2   1/√2]

       [(3/√2)·(1/√2)+(−1/√2)·(−1/√2)   (3/√2)·(1/√2)+(−1/√2)·(1/√2)]
     = [(3/√2)·(1/√2)+(1/√2)·(−1/√2)    (3/√2)·(1/√2)+(1/√2)·(1/√2) ]

       [3/2+1/2    3/2−1/2]   [2  1]
     = [3/2−1/2    3/2+1/2] = [1  2]   ✓  验证通过！

替代验证方法——利用 AQ = QΛ 等价性：

由于特征向量的定义 Av = λv，对 Q 的每一列有 A·q_i = λ_i·q_i。将所有列堆叠起来：AQ = QΛ。这与 A = QΛQᵀ 等价（右乘 Qᵀ 即可）。验证：

       [2  1]   [1/√2  −1/√2]   [2·1/√2+1·1/√2   2·(−1/√2)+1·1/√2]   [3/√2   −1/√2]
AQ  =  [1  2] · [1/√2   1/√2] = [1·1/√2+2·1/√2   1·(−1/√2)+2·1/√2] = [3/√2    1/√2]

       [1/√2  −1/√2]   [3  0]   [3/√2   −1/√2]
QΛ  =  [1/√2   1/√2] · [0  1] = [3/√2    1/√2]   →  AQ = QΛ   ✓

两个验证方法都确认了 A = QΛQᵀ 的正确性。

这个变换的几何含义是：沿方向 [1,1]（45°线）每个向量拉伸 3 倍，沿 [−1,1]（135°线）每个向量拉伸 1 倍（不变）。

3×3 对称矩阵对角化完整示例

进一步扩展到 3 维：

     [4  −2   2]
A =  [−2   5   0]
     [ 2   0   3]

特征多项式（通过行列式展开计算）：det(A−λI) = −λ³ + 12λ² − 39λ + 28 = 0。解得特征值：λ₁=7, λ₂=4, λ₃=1。

对应归一化特征向量（省略详细计算）：

v₁ = [2/3, −1/3, 2/3]ᵀ,   v₂ = [−1/3, 2/3, 2/3]ᵀ,   v₃ = [−2/3, −2/3, 1/3]ᵀ

构造 Q = [v₁ v₂ v₃] 和 Λ = diag(7, 4, 1)。可以验证：A = QΛQᵀ 成立（各列满足 Avᵢ=λᵢvᵢ，且 Q 是正交矩阵——各行/列构成标准正交基）。

几何上，该变换在 v₁ 方向拉伸 7 倍、v₂ 方向拉伸 4 倍、v₃ 方向拉伸 1 倍（不变）——直观展现了对称矩阵如何定义自身的三条主拉伸方向。

6.4.3 奇异值分解 (SVD)

对于一般矩阵——非对称甚至非方阵——奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）提供了特征值分解的推广。任意 m×n 矩阵 A 可以分解为：

A = U S Vᵀ

其中：

• U 是 m×m 正交矩阵，其列称为 A 的左奇异向量（left singular vectors）
• S 是 m×n 对角矩阵（对角线上非零，其余为零），对角元素 σ_i 称为 A 的奇异值（singular values），满足 σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ σ_r ≥ 0
• V 是 n×n 正交矩阵，其列称为 A 的右奇异向量（right singular vectors）

奇异值与 AᵀA 特征值的关系：这是 SVD 最核心的理论联系。计算：

AᵀA = (USVᵀ)ᵀ(USVᵀ) = VSᵀUᵀUSVᵀ = V(SᵀS)Vᵀ

由于 UᵀU = I（U 是正交的），所以 AᵀA = V(SᵀS)Vᵀ。这正是 AᵀA 的特征值分解！因此：

• A 的右奇异向量 V 是 AᵀA 的特征向量
• A 的奇异值 σ_i 是 AᵀA 的特征值的平方根：σ_i = √λ_i(AᵀA)

σᵢ² = λᵢ(AᵀA) 的详细代数证明

上述推导虽然简洁，但值得更仔细地审视每一步。假设 A 是一个 m×n 矩阵（m 行，n 列），其 SVD 为 A = U S Vᵀ：

关键观察 1：SᵀS 的结构

S 是 m×n 对角矩阵，仅在前 r = min(m,n) 个对角位置上有非零的奇异值 σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ σ_r ≥ 0。Sᵀ 是 n×m 矩阵，其对角元素与 S 相同。因此 SᵀS 是一个 n×n 对角矩阵：

          [σ₁²    0    …    0  ]
          [ 0    σ₂²   …    0  ]
SᵀS  =    [ …    …    ⋱    …  ]
          [ 0     0    …  σ_n² ]
（如果 m < n，则超出 m 的 σ_i = 0）

关键观察 2：为什么 UᵀU = I

U 是 m×m 正交矩阵（定义要求其列标准正交）。正交矩阵的定义性质是 UᵀU = UUᵀ = I_m（m×m 单位矩阵）。

关键观察 3：推导 AᵀA 的对角化

AᵀA = (USVᵀ)ᵀ · (USVᵀ)          ← 代入 A 的 SVD
     = (V Sᵀ Uᵀ) · (U S Vᵀ)       ← (AB)ᵀ = BᵀAᵀ，转置乘法交换顺序
     = V · Sᵀ · (UᵀU) · S · Vᵀ    ← 矩阵乘法结合律
     = V · Sᵀ · I_m · S · Vᵀ      ← 正交矩阵定义 UᵀU = I
     = V · (SᵀS) · Vᵀ             ← 简化

而 V·(SᵀS)·Vᵀ 恰好是 AᵀA 的特征值分解！

关键观察 4：提取结论

AᵀA = V · diag(σ₁², σ₂², …, σ_n²) · Vᵀ

因此 V 的各列就是 AᵀA 的特征向量（即 A 的右奇异向量），而对角矩阵 diag(σ₁², σ₂², …, σ_n²) 的对角元就是 AᵀA 的特征值。所以：

σ_i = √λ_i(AᵀA)

对称性验证：AAᵀ = U(S²)Uᵀ

类似推导可得 AAᵀ = USVᵀ·(USVᵀ)ᵀ = USVᵀVSᵀUᵀ = U(SSᵀ)Uᵀ = U·diag(σ₁², …, σ_m²)·Uᵀ。因此 U 的各列是 AAᵀ 的特征向量（A 的左奇异向量），两者的非零奇异值相同（σ_i²）。

类似地：AAᵀ = US²Uᵀ，因此 A 的左奇异向量 U 是 AAᵀ 的特征向量。

SVD 的数值验证：构造一个完整的例子

以一个简单的 2×2 矩阵为例，手动计算其 SVD：

     [3  0]
A =  [0  1]

A 已经是对角的——直接读出 SVD：U=I（无旋转），S=diag(3,1)，Vᵀ=I（无旋转）。验证：

AᵀA = [3 0; 0 1]·[3 0; 0 1] = [9 0; 0 1]  →  特征值 λ₁=9, λ₂=1  →  σ₁=3, σ₂=1

稍复杂的例子：

     [1  2]
A =  [2  1]

计算 AᵀA：

AᵀA = [1 2; 2 1]·[1 2; 2 1] = [5  4; 4  5]
特征方程：det(AᵀA−λI) = (5−λ)²−16 = λ²−10λ+9 = (λ−1)(λ−9) = 0
λ₁ = 9, λ₂ = 1  →  σ₁ = 3, σ₂ = 1

对应特征向量（右奇异向量 V 的列）：

对于 λ₁=9:  v₁ = [1/√2, 1/√2]ᵀ     对于 λ₂=1:  v₂ = [−1/√2, 1/√2]ᵀ

左奇异向量 U 由 u_i = (1/σ_i)·A·v_i 给出：

u₁ = (1/3)·[1 2; 2 1]·[1/√2; 1/√2] = (1/3)·[3/√2; 3/√2] = [1/√2; 1/√2]
u₂ = (1/1)·[1 2; 2 1]·[−1/√2; 1/√2] = [1/√2; −1/√2]

最终 SVD：A = U·diag(3,1)·Vᵀ。可以验证该分解正确。

SVD 的几何解释：SVD 将任意线性变换 A 分解为三步操作：

1. Vᵀ：旋转/反射输入空间——将输入基向量对齐到 A 的"作用"方向
2. S：沿新的坐标轴独立地缩放——各个方向以奇异值 σ_i 缩放
3. U：旋转/反射到输出空间——将缩放后的向量旋转到最终位置

这正是 A 将输入单位球映射到的椭球体的半轴长度和方向——σ_i 是半轴长度，u_i 是半轴方向（输出空间中的单位方向向量）。

对称矩阵的主轴变换：从单位圆到椭圆的几何演示

对称矩阵 A = QΛQᵀ 的主轴变换在平面上可以极其形象地用"单位圆 → 椭圆"来展示。取所有满足 ||x|| = 1 的单位向量（单位圆），应用变换 y = Ax：

y = Ax = QΛQᵀx

由于 Qᵀ 只是旋转（保持单位圆不变），Λ 是独立缩放（将圆形拉伸为椭圆），Q 是反向旋转——整个过程相当于：旋转对齐 → 拉伸 → 旋转回来。对于 2×2 对称矩阵 A = [2 1; 1 2]（λ₁=3, λ₂=1）：

椭圆的几何参数：

• 长轴方向 = Q 的第一列 = v₂ = [1/√2, 1/√2]ᵀ（45°方向），长半轴长度 = λ₂ = 3
• 短轴方向 = Q 的第二列 = v₁ = [−1/√2, 1/√2]ᵀ（135°方向），短半轴长度 = λ₁ = 1
• 椭圆的面积 = π·λ₁·λ₂ = π·3·1 = 3π = π·det(A)（对比：原单位圆面积 = π）

这一几何事实在实际中有深层意义：A 将空间中所有向量按主轴方向不等比例拉伸——沿 45° 方向拉伸 3 倍，沿 135° 方向保持不变。任何其他方向的向量都同时被两个方向的拉伸分量影响，大小介于两者之间。

SVD 是数值线性代数中最通用的分解之一。它暴露了矩阵的秩（rank = 非零奇异值的个数）、零空间（nullspace——右奇异向量对应的零奇异值）、值域（range——左奇异向量对应的非零奇异值），并通过舍弃最小的奇异值来提供低秩最佳近似（Eckart-Young 定理）。在图形学中，SVD 应用于主成分分析（PCA）、形状变形与配准、光流矩阵压缩、以及评估任何几何变换的"真实缩放量"。我们将在第 7.1.6 节中进一步探讨 SVD 在几何变换中的具体应用。

6.4.4 特征值与奇异值的区别总结

课后练习题（含解答与分析）

      |x   x₀  x₁|
det = |y   y₀  y₁| = 0
      |1   1   1 |

(MᵀM)_{ij} = c_i·c_j = δ_{ij}   →   MᵀM = I

(MMᵀ)_{ij} = r_i·r_j = δ_{ij}

(a×b)·c = (a_y·b_z−a_z·b_y)·c_x + (a_z·b_x−a_x·b_z)·c_y + (a_x·b_y−a_y·b_x)·c_z

for i: for j: for k: C[i][j] += A[i][k]·B[k][j]

for k: for i: for j: C[i][j] += A[i][k]·B[k][j]

det(D−λI) = det(diag(d₁−λ,d₂−λ,…,d_n−λ)) = Π_{k=1}^{n} (d_k−λ)

v₂ᵀAv₁ = v₂ᵀ(λ₁v₁) = λ₁(v₂ᵀv₁)                   (1)
v₁ᵀAv₂ = v₁ᵀ(λ₂v₂) = λ₂(v₁ᵀv₂) = λ₂(v₂ᵀv₁)       (2)

λ₁(v₂ᵀv₁) = λ₂(v₂ᵀv₁)  →  (λ₁−λ₂)(v₂ᵀv₁) = 0

AᵀA = [1 2; 4 3]ᵀ [1 4; 2 3] = [1 2; 4 3] [1 4; 2 3] = [1·1+4·4  1·2+4·3; 2·1+3·4  2·2+3·3] = [17  14; 14  13]

本章核心洞察

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