第11章：纹理映射

学习目标

1. 理解纹理映射的基本概念：从表面到纹理空间的映射函数 φ 的作用，掌握纹理查找的基本流程和坐标归一化
2. 熟悉各种纹理坐标函数：球面映射、圆柱映射、平面映射、立方体映射的构造方法及其适用场景
3. 掌握 Mipmap 金字塔的原理与纹理抗混叠技术：三线性插值、各向异性过滤与纹素-像素尺寸比的分析
4. 理解纹理映射的核心应用：颜色贴图、法线/凹凸映射、置换映射、阴影贴图和环境贴图的基本原理
5. 了解程序化纹理与三维纹理的基本概念，理解噪声函数（Perlin 噪声）驱动纹理生成的思路

当试图复制真实世界的外观时，你很快就会意识到几乎没有任何表面是无特征的。木材（wood）生长时带有纹理；皮肤（skin）生长时带有皱纹；布料（cloth）展现其编织结构；油漆（paint）显示刷子或滚筒留下的痕迹。即使是光滑的塑料（plastic），也是在上面模压出凸起而制成的，而光滑的金属（metal）则显示出制造过程的加工痕迹。曾经无特征的材料很快就会布满划痕、凹痕、污渍、刮痕、指纹和灰尘。

在计算机图形学中，我们将所有这些现象归入"空间变化表面属性（spatially varying surface properties）"的范畴——这些表面属性因位置而异，但不会以有意义的方式改变表面的形状。为了支持这些效果，各种建模和渲染系统提供了某种形式的纹理映射（texture mapping）：使用一张图像——称为纹理贴图（texture map）、纹理图像（texture image），或简称为纹理（texture）——来存储你想要放在表面上的细节，然后通过数学方法将该图像"映射"到表面上。这里的"映射"使用的是第 2.1 节中的含义。

事实证明，一旦存在将图像映射到表面上的机制，就有许多不那么显而易见的用途可以超越引入表面细节的基本目的。纹理可以用来制作阴影（shadows）和反射（reflections），提供照明（illumination），甚至定义表面形状（surface shape）。在复杂的交互式程序中，纹理被用来存储各种甚至与图片完全无关的数据！

本章讨论使用纹理来表示表面细节、阴影和反射。基本思想很简单，但有几个实际问题使纹理的使用变得复杂。首先，纹理很容易失真（distorted），设计将纹理映射到表面上的函数很有挑战性。此外，纹理映射是一个重采样过程（resampling process）——就像重新缩放图像一样——而正如我们在第 10 章中看到的，重采样很容易引入混叠伪影（aliasing artifacts）。纹理映射和动画一起使用时尤其容易产生真正引人注目的混叠，而纹理映射系统（texture mapping system）的大部分复杂性都是由用于驯服这些伪影的抗混叠措施（antialiasing measures）造成的。

11.1 查找纹理值

让我们从一个简单的纹理映射应用开始。我们有一个带有木地板（wood floor）的场景，我们希望地板的漫反射颜色（diffuse color）由一张显示带有木纹的地板条的图像来控制。无论使用光线追踪（ray tracing）还是光栅化（rasterization），计算光线-表面交点或光栅化器生成片元的着色代码都需要知道着色点处的纹理颜色，以便将其用作第 5 章中兰伯特着色模型（Lambertian shading model）的漫反射颜色。

为了获取这个颜色，着色器执行纹理查找（texture lookup）：它找出纹理图像坐标系中与着色点对应的位置，并读出图像中该点处的颜色——即纹理样本（texture sample）。然后该颜色被用于着色，并且由于纹理查找在看到地板的每个像素处都发生在纹理中的不同位置，图像中会显示出一个不同颜色的图案。完整的着色流程伪代码如下：

// 纹理查找：在纹理图像中取对应 (u,v) 坐标处的颜色
Color texture_lookup(Texture t, float u, float v) {
  int i = round(u * t.width() - 0.5)
  int j = round(v * t.height() - 0.5)
  return t.get_pixel(i,j)
}

// 表面点着色：获取法线和纹理坐标，计算漫反射颜色
Color shade_surface_point(Surface s, Point p, Texture t) {
  Vector normal = s.get_normal(p)
  (u,v) = s.get_texcoord(p)
  Color diffuse_color = texture_lookup(u,v)
  // 使用 diffuse_color 和 normal 计算 Lambert 着色
  // 例如：Color result = diffuse_color * max(0, dot(n,L))
  return result
}

纹理坐标归一化与离散纹素索引

上述伪代码中隐藏了一个关键步骤：连续归一化坐标到离散纹素索引的映射。纹理坐标 (u,v) 定义在连续域 [0,1]² 上，而纹理图像是像素的离散数组。完整的映射链条为：

// 完整的三阶段纹理查找映射链

阶段 1：表面点 → 连续纹理坐标
  φ : S → [0,1]²
  φ(p) = (u, v)    // u,v ∈ [0,1] 的实数

阶段 2：连续纹理坐标 → 离散纹素索引
  给定宽度为 w、高度为 h 的纹理图像：
  i_continuous = u · w          // 实值列坐标，范围 [0, w]
  j_continuous = v · h          // 实值行坐标，范围 [0, h]

阶段 3：离散纹素索引 → 颜色值（涉及重建滤波器）
  最近邻：i = round(i_continuous − 0.5)
          j = round(j_continuous − 0.5)
          color = tex[i][j]

  双线性：color = interpolate_bilinear(tex, i_continuous, j_continuous)
          // 读取四个最近纹素并加权混合

这里 offset -0.5 的引入是因为纹素中心位于半整数坐标处：纹素 (0,0) 的中心在实值坐标 (0.5, 0.5) 处。当 u=0 时，i_continuous=0，round(0−0.5)=round(−0.5)=0，正确索引到第一个纹素。

最近邻 vs 双线性：混叠的起源

理解不同重建滤波器对混叠行为的影响是掌握纹理抗混叠的基础。考虑一个典型的放大场景——纹理中一个纹素覆盖屏幕上 4×4 个像素——对比两种滤波器的行为：

// 最近邻采样 (Nearest-Neighbor)
// —— 无重建滤波器，直接取纹素值

对于屏幕像素落在纹理坐标 (u,v) 处：
  i = round(u·w − 0.5)
  j = round(v·h − 0.5)
  color = tex[i][j]

特点：
- 相邻像素如果落入同一纹素，获得完全相同颜色 → 块状伪影
- 相邻像素恰好在纹素边界两侧，颜色突然跳变 → 锯齿边缘
- 动画中，纹素边界在像素网格上滑动 → "像素游泳"效果
- 信号分析：最近邻 = 盒状滤波器 → 频域引入旁瓣，高频泄漏到低频


// 双线性采样 (Bilinear)
// —— 帐篷/三角形重建滤波器

对于屏幕像素落在纹理坐标 (u,v) 处：
  i_c = u·w − 0.5         // 实值列坐标
  j_c = v·h − 0.5         // 实值行坐标

  i0 = floor(i_c);  i1 = i0 + 1
  j0 = floor(j_c);  j1 = j0 + 1

  fi = i_c − i0           // i 方向的小数偏移 ∈ [0,1)
  fj = j_c − j0           // j 方向的小数偏移 ∈ [0,1)

  color = (1−fi)·(1−fj) · tex[i0][j0]
        +     fi ·(1−fj) · tex[i1][j0]
        + (1−fi)·    fj  · tex[i0][j1]
        +     fi ·    fj  · tex[i1][j1]

特点：
- 相邻像素获得平滑过渡 → 无块状伪影
- 频域：帐篷滤波器 = sinc² → 主瓣更宽，旁瓣衰减 ∝ 1/f²
- 相比最近邻更好地抑制高频混叠，但牺牲一些锐度
- 代价：4 次内存读取 vs 最近邻的 1 次

在这段代码中，着色器询问表��在纹理中的哪个位置查找，而我们想要使用纹理着色的每个表面都需要能够回答这个查询——"你这个着色点的纹理坐标 (u,v) 是多少？"这带我们来到了纹理映射的第一个关键要素：我们需要一个能够轻松为每个像素计算的、从表面到纹理的函数。这就是纹理坐标函数（texture coordinate function，图 11.1）。从数学上讲，它是一个从表面到纹理空间的映射：

φ : S → T  = [0,1]²

其中 S 是表面（三维空间中点的集合）
T 是纹理空间（通常为单位正方形）
对于表面上任意点 p ∈ S，φ(p) = (u,v) 给出其在纹理中的坐标

以最简单的形式使用纹理坐标函数——仅仅使用空间坐标 (x,y) 作为纹理坐标——意味着点 (x,y,z) 从纹理的位置 (x,y) 处获取纹理值。这相当于令 φ(x,y,z) = (x,y)，即直接将 3D 坐标的前两个分量用作纹理坐标（适当缩放后映射到 [0,1] 范围）。图 11.2 展示了一个用这种方式渲染的木地板。

最简单形式的纹理映射所产生的另一个问题通过对一张高对比度纹理以非常低掠的角度渲染到低分辨率图像中得到了戏剧性的说明。图 11.3 显示了一个以相同方法渲染但使用高对比度网格图案和朝向地平线视图的大平面。你可以看到它包含混叠伪影（aliasing artifacts）——前景中呈阶梯状、远处呈波浪状和闪烁状图案——类似于第 10 章中不适当使用滤波器时图像重采样产生的伪影。尽管需要极端情况才能使这些伪影在印刷在书中的一张微小静止图像中如此明显，但在动画中这些图案会到处移动，即使它们更加微妙也非常分散注意力。

我们现在已经看到了基本纹理映射中的两个主要问题：

• 定义纹理坐标函数（texture coordinate functions）
• 查找纹理值而不引入过多的混叠（aliasing）

这两个关注点对于所有类型的纹理映射应用都是根本性的，分别在第 11.2 节和第 11.3 节中讨论。一旦你理解了它们以及它们的一些解决方案，你就理解了纹理映射——剩下的仅仅是如何将基本的纹理映射机制用于各种不同目的的应用，这在第 11.4 节中讨论。

11.2 纹理坐标函数

设计良好的纹理坐标函数 φ 是为纹理映射获取良好结果的关键要求（key requirement）。你可以将其视为决定如何变形一张平面的矩形图像，使其贴合到你想绘制的三维表面上。或者反过来想：你是将表面在不使其起皱、撕裂或折叠的情况下轻轻地展平，使其平坦地躺在图像上。有时这很容易——也许三维表面本身已经是一个平坦的矩形了。在其他情况下，这异��棘手——三维形状可能非常复杂，就像角色的身体表面一样。

定义纹理坐标函数的问题对计算机图形学来说并不是新的。制图师（cartographers）在设计覆盖大面积地球表面的地图（maps）时面临着完全相同的问题：从弯曲的地球到平面地图的映射不可避免地对面积、角度和/或距离造成失真（distortion），这很容易使地图非常误导人。许多世纪以来，人们提出了许多地图投影（map projections），都平衡了纹理映射中面临的同样竞争性关注点——在覆盖大量区域的同时以一张连续的图表最小化各种类型的失真。

在某些应用中（如第 11.2.1 节中的例子），有明确的理由使用特定的映射。但在大多数情况下，设计纹理坐标映射是一项平衡竞争性关注点的精细任务，熟练的建模师会投入大量精力来完成这项任务。"UV 映射（UV mapping）"或"表面参数化（surface parameterization）"是你可能遇到的纹理坐标函数的其他名称。

你几乎可以以任何你能想象到的方式定义 φ。但有几个竞争性的目标需要考虑：

• 双射性（Bijectivity）。在大多数情况下，你希望 φ 是双射（bijective，见第 2.1.1 节）的，使得表面上的每个点映射到纹理空间中的不同点。如果几个点映射到相同的纹理空间点，纹理中一个点的值将影响表面上的几个点——这通常是不希望发生的。在你希望纹理在表面上重复的情况下（想想带有重复图案的墙纸或地毯），有意引入从表面点到纹理点的多对一映射（many-to-one mapping）是有意义的，但你不希望这种情况意外发生。数学上：双射性要求 φ 既是单射（injective，每个纹理点最多对应一个表面点）又是满射（surjective，纹理空间的每个点都被使用）。
• 尺寸失真（Size distortion）。纹理的尺度在表面上应大致恒定。也就是说，表面上任何地方的靠近点——它们之间的距离大致相同——应映射到纹理中距离大致相同的点。就函数 φ 而言，φ 的导数的大小不应变化太大。形式上：对于表面上的任意两个邻近方向 v₁ 和 v₂，我们期望 ∥∂φ/∂v₁∥ ≈ ∥∂φ/∂v₂∥。如果 ∥∂φ/∂v∥ 在某处是其他地方的 3 倍，那么纹理在该处的 1 厘米将对应表面上的 3 厘米——纹理看起来被拉伸。
• 形状失真（Shape distortion）。纹理不应被严重扭曲。也就是说，在表面上画的一个小圆应映射到纹理空间中大致为圆形的形状，而不是一个极度压扁或拉长的形状。就 φ 而言，φ 的导数在不同方向上不应差异太大——这等价于要求映射近似是共形（conformal）的。如果沿 u 方向的导数幅值是沿 v 方向导数幅值的 5 倍，那么表面上本来圆形的斑点会在纹理空间中变成极度拉伸的椭圆。
• 连续性（Continuity）。不应有太多的接缝：表面上的邻近点应映射到纹理中的邻近点。也就是说，φ 应是连续（continuous）的，或具有尽可能少的不连续性。在大多数情况下，一些不连续是不可避免的——就像任何地图都需要在某些地方切割一样——我们希望将它们放在不显眼的位置，如模型的底部或后背。

由参数方程（parametric equations，第 2.7.8 节）定义的表面带有内置的纹理坐标函数选择：简单地反转定义表面的函数，并使用表面的两个参数 (s,t) 作为纹理坐标。例如，球面由 (θ,φ) 参数化，那么 (u,v) = (θ/(2π), φ/π) 就是一个自然的纹理坐标映射。这些纹理坐标可能具有或不具有理想的属性，具体取决于表面，但它们确实提供了一种映射。

但对于隐式定义（implicitly defined）的表面，或者仅由三角网格（triangle mesh）定义的表面，我们需要不依赖现有参数化的其他方式来定义纹理坐标。广义上讲，定义纹理坐标的两种方式是从表面点的空间坐标几何地计算它们，或者对于网格表面，在顶点处存储纹理坐标的值并在表面上对它们进行插值。让我们逐一看看这些选项。

11.2.1 几何确定的坐标

几何确定（geometrically determined）的纹理坐标用于简单形状或特殊情况，作为快速解决方案，或作为设计手工调整纹理坐标映射的起点。我们将通过将图 11.4 中的测试图像映射到表面上来说明各种纹理坐标函数。图像中的数字让你可以从渲染图像中读出近似的 (u,v) 坐标，网格让你看到映射的失真程度。

平面投影（Planar Projection）

可能最简单的从三维到二维的映射是平面投影（planar projection）——与用于正交视图的相同映射（图 11.5）。我们已经为视图（第 8.1 节）开发的机制可以直接重用于定义纹理坐标：正如正交视图归结为乘以一个矩阵并丢弃 z 分量一样，通过平面投影生成纹理坐标可以通过一个简单的矩阵乘法来完成：

φ(x,y,z) = (u,v)

其中  [u]        [x]
     [v] = Mt · [y]
     [*]        [z]
     [1]        [1]

纹理矩阵 Mt 是一个 3×4（或 4×4，最后一行 [0,0,0,1]）仿射变换矩阵。
星号 * 表示我们不关心第三坐标中得到什么。

这相当于一个任意的仿射 3D→2D 投影：u = a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z + a₁₄，v = a₂₁x + a₂₂y + a₂₃z + a₂₄。如果投影方向与表面的平均法线对齐，这对于大多数开始时就大致平坦的表面效果相当好——没有太多的表面法线变化。然而，对于任何类型的封闭形状，平面投影将不是单射的：正面和背面的点将映射到纹理空间中的同一个点（图 11.6）。在投影方向与表面相切的位置附近还会出现极端失真。

投影纹理坐标（Projective Texture Coordinates）

通过简单地用透视投影替换正交投影，我们得到投影纹理坐标（projective texture coordinates，图 11.7）：

φ(x,y,z) = (ũ/w, ṽ/w)

其中  [ũ]        [x]
     [ṽ] = Pt · [y]
     [*]        [z]
     [w]        [1]

4×4 矩阵 Pt 表示一个投影变换（不一定是仿射的）
——最后一行可能不是 [0,0,0,1]。

现在 4×4 矩阵 Pt 表示一个投影变换（projective transformation，不一定是仿射）。投影纹理坐标之所以重要，是因为它们在阴影贴图（shadow mapping）技术中的关键作用——详见第 11.4.4 节。从光源视角渲染时，透视投影自然产生投影纹理坐标，这正是阴影贴图工作中所需要的。在渲染中，投影纹理有时也被称为"聚光灯贴图"或"go-bo"效果——就像在舞台上用带有图案的聚光灯投射光斑一样。

透视纹理映射的齐次除法推导

透视纹理坐标与普通仿射纹理坐标的本质区别在于齐次除法（homogeneous division）——这是将 4D 齐次坐标投影回 2D 的关键步骤。理解这个过程需要追踪 w 分量如何被引入、传递和用于除法：

// 透视纹理映射的完整数学推导

步骤 1：世界空间点 → 裁剪空间（4D 齐次坐标）

设光源位于位置 L，使用透视投影矩阵 P_light（如标准的透视视锥体矩阵）：

  [x_clip]        [x_world]
  [y_clip] = P_light · [y_world]
  [z_clip]              [z_world]
  [w_clip]              [1]

对于典型的透视投影（对称视锥，near=n, far=f, FOV=2·atan(1/t)）：
            [ t    0    0         0      ]
  P_light = [ 0    t    0         0      ]
            [ 0    0  -(f+n)/(f−n)  -2fn/(f−n) ]
            [ 0    0    −1        0      ]

关键：第 4 行 [0 0 −1 0] 使得 w_clip = −z_world
——w_clip 承载了深度信息（在最简单的情况下就是视角空间中的 z 值取反）

步骤 2：齐次除法（透视除法，perspective divide）

齐次坐标 (x_clip, y_clip, z_clip, w_clip) 必须除以 w_clip 以回到 3D：
  x_ndc = x_clip / w_clip
  y_ndc = y_clip / w_clip
  z_ndc = z_clip / w_clip

这是 GPU 光栅化管线自动执行的步骤（在顶点着色器输出 gl_Position 之后）。

步骤 3：NDC → 纹理坐标

从 NDC（范围 [−1,1]）映射到纹理坐标（范围 [0,1]）：
  u = (x_ndc + 1) / 2
  v = (y_ndc + 1) / 2

组合到一步：
  u = (x_clip/w_clip + 1) / 2  =  (x_clip + w_clip) / (2·w_clip)
  v = (y_clip/w_clip + 1) / 2  =  (y_clip + w_clip) / (2·w_clip)

步骤 4：纹理空间中的透视校正插值

这是理解纹理映射的核心：在屏幕空间中，u、v 不与屏幕坐标线性相关。
原因：透视除法使得关系变为有理函数形式。

正确的方法是在屏幕空间中对 (u/w, v/w, 1/w) 进行线性插值（这些量确实是线性的），
然后在每个片元处通过除法恢复正确的 u 和 v：

  在三角形顶点处计算： (u_A/w_A, v_A/w_A, 1/w_A)
                                    ↓
  重心插值（在屏幕空间中线性变化！）：
      u_interp/w_interp = Σ α_i · (u_i/w_i)
      v_interp/w_interp = Σ α_i · (v_i/w_i)
      1/w_interp        = Σ α_i · (1/w_i)
                                    ↓
  每个片元处恢复：
      u_correct = (u_interp/w_interp) / (1/w_interp)
      v_correct = (v_interp/w_interp) / (1/w_interp)

// 为什么 (u/w) 在屏幕空间中是线性的？
// 证明概要：
// 在三维齐次裁剪空间中，三角形是平面。
// 平面上任意属性 a 都可以表示为空间坐标的线性函数：a = α·x + β·y + γ·z + δ
// 在屏幕空间 (x/w, y/w) 中，a/w = α·(x/w) + β·(y/w) + γ·(z/w) + δ·(1/w)
// 由于 z/w 在裁剪平面中也是 (x/w, y/w) 的线性函数，且 w 本身在屏幕空间中
// 是仿射量（因此 1/w 也是线性的），可知 a/w 是 (x/w, y/w) 的线性函数。
// 具体到纹理坐标：u/w 和 v/w 在屏幕空间中都是线性的。□

球面坐标（Spherical Coordinates）

对于球体，纬度/经度参数化（latitude/longitude parameterization）是熟悉且广泛使用的。它在极点（poles）附近有很多失真——这可能导致困难——但它确实覆盖了整个球体，仅沿一条经线存在不连续。

大致呈球形的表面可以使用纹理坐标函数进行参数化，该函数使用径向投影（radial projection）将表面上的点映射到球面上的一点：从球体的中心画一条穿过表面上该点的直线，并找到与球体的交点。该交点的球面坐标就是你起始的表面点的纹理坐标。另一种表述方式是：你将表面点表示为球面坐标 (ρ, θ, φ)，然后丢弃 ρ 坐标，并将 θ 和 φ 各映射到范围 [0,1]。

// 球面投影纹理坐标（使用 2.7.8 节的约定）
// 球心在原点，表面点在 [-1,1]³ 的盒子内

φ(x,y,z) = ( [π + atan2(y,x)] / 2π ,  [π − acos(z/∥x∥)] / π )

其中 ∥x∥ = sqrt(x² + y² + z²)
atan2(y,x) 返回从 x 轴到向量 (x,y) 的角度，范围 (−π, π]
acos(z/∥x∥) 返回从 z 轴到向量的角度，范围 [0, π]

如果从中心点可以看到整个表面，球面坐标映射将在除极点以外的所有地方是双射的。它继承了与球面上纬度-经度地图相同的极点附近失真——极点处纹理被水平压缩成一条线，形状失真和尺寸失真都极为严重。

球面纹理映射的极点失真：形式化分析

要定量理解球面纹理映射在极点处的失真，我们需要分析映射 φ 的雅可比矩阵（Jacobian）。将纹理坐标函数 φ(x,y,z) = (u,v) 重写为基于球面角 (θ, φ_sph) 的参数形式（注意这里 φ_sph 是极角，不要与纹理映射函数 φ 混淆）：

// 球面纹理映射的参数形式

令表面点用球面坐标表示：p = (sin φ_sph · cos θ,  sin φ_sph · sin θ,  cos φ_sph)

纹理坐标函数：
u = θ / (2π)       =  atan2(y, x) / (2π)    // 经度归一化到 [0,1]
v = φ_sph / π       =  acos(z/∥p∥) / π        // 极角归一化到 [0,1]

// 雅可比矩阵：计算 (u,v) 对 (θ, φ_sph) 的偏导数

J(θ, φ_sph) = [ ∂u/∂θ     ∂u/∂φ_sph ]  =  [ 1/(2π)       0      ]
              [ ∂v/∂θ     ∂v/∂φ_sph ]     [   0        1/π     ]

// 纹理空间中微小区域的面积 dA_tex 与球面上微小区域的面积 dA_sphere 的关系：
dA_tex = |det(J)| · dA_sphere_params

但由于我们需要的是表面积，而非参数面积，需要引入球面的度量张量：

球面上的面积元素：dA_sphere = ∥p_θ × p_φ∥ dθ dφ_sph = sin φ_sph · dθ dφ_sph

其中 p_θ = ∂p/∂θ = (−sin φ·sin θ, sin φ·cos θ, 0)
      p_φ = ∂p/∂φ = (cos φ·cos θ, cos φ·sin θ, −sin φ)
      ∥p_θ∥ = sin φ_sph, ∥p_φ∥ = 1, p_θ ⊥ p_φ → ∥p_θ × p_φ∥ = sin φ_sph

// 面积拉伸因子（areal distortion factor）

纹理面积 / 球面面积 = dA_tex / dA_sphere
                   = |det(J)| · dθ dφ_sph  /  (sin φ_sph · dθ dφ_sph)
                   = (1/(2π) · 1/π) / sin φ_sph
                   = 1 / (2π² · sin φ_sph)

// 关键发现：
当 φ_sph → 0 时（北极），sin φ_sph → 0 → 面积拉伸因子 → ∞
当 φ_sph = π/2 时（赤道），sin φ_sph = 1 → 面积拉伸因子 = 1/(2π²)（最小值）
当 φ_sph → π 时（南极），sin φ_sph → 0 → 面积拉伸因子 → ∞

物理含义：
在极点附近，球面上 1 mm² 的表面被映射到纹理中无限大的区域
→ 或者说，纹理中的一个纹素在极点处覆盖球面上几乎为零的面积
→ 极点附近的纹理细节对最终渲染的贡献几乎为零（被极度压缩）
→ 宝贵的纹理分辨率在极点处被严重浪费

柱面坐标（Cylindrical Coordinates）

对于比球形更接近柱形的物体，从一条轴线向外投影到圆柱体上可能比从一个点投影到球体上效果更好（图 11.9）。类似于球面投影，柱面投影（cylindrical projection）从表面点径向向外投影——这次是投影到包围的圆柱体上——以获取纹理坐标。这相当于将点转换为柱面坐标然后丢弃半径分量：

// 柱面投影纹理坐标
// 轴线为 z 轴，圆柱半径为 1

φ(x,y,z) = ( [π + atan2(y,x)] / 2π ,  [1 + z] / 2 )

u 分量与球面投影相同（水平环绕角度）
v 分量是垂直高度 z 的线性函数

对于大致呈柱形的物体（如角色的躯干、树干、花瓶），这比球面坐标产生更少的失真，并且已被广泛用于为虚拟角色（大致呈柱形的躯干）构建纹理坐标。柱面投影的一个优势是：v 坐标沿高度方向均匀分布，不会像球面投影那样在极点附近堆积。

立方体贴图（Cubemaps）

使用球面坐标参数化球状或类球形状导致极点附近形状和面积的严重失真——这常常会导致可见伪影，暴露出有两个特殊点存在异常。一个流行的替代方案更加均匀，代价是有更多的不连续。想法是投影到立方体（cube）而不是球体上，然后对立方体的六个面使用六张独立的正方形纹理。这六张方形纹理的集合称为立方体贴图（cubemap）。这沿立方体的所有边缘引入了不连续，但保持了形状和面积的低失真。

// 立方体贴图纹理坐标
// 对于投影到 +z 面的点 (该面 x,y ∈ [−1,1])：

(x, y, z) ↦ ( x/z , y/z )

// 类似地：
// +x 面：(y/x, z/x)
// −x 面：(−y/−x, z/−x)  或 (y/x, z/x)
// +y 面：(x/y, z/y)
// −y 面：(x/−y, z/−y) 或 (x/y, z/y)
// −z 面：(−x/−z, y/−z) 或 (x/z, y/z)

// 再将 (−1,−1) 到 (1,1) 映射到每个面的 (0,1)²

计算立方体贴图纹理坐标也比球面坐标便宜，因为投影到平面仅需要一次除法——本质上与透视投影相同。立方体贴图的一个令人困惑的方面是为六个面建立 u 和 v 方向定义的约定。任何约定都可以，但所选约定会影响纹理的内容，因此标准化很重要。立方体贴图对于表示周围环境特别有用（第 11.4.5 节），因为无论方向如何，它们都提供了低失真的纹理访问。

11.2.2 插值纹理坐标

对于三角网格中定义的表面，最常见的定义纹理坐标的方法是在网格的每个顶点显式地为表面分配纹理坐标，然后使用重心插值（barycentric interpolation，第 9.1.2 节）在三角形内部进行插值来获得内部点的纹理坐标。它以与你在网格上定义的任何其他平滑变化量（颜色、法线、甚至 3D 位置本身）完全相同的方式工作。

// 在三角形 ΔABC 内使用重心坐标 (α, β, γ) 插值纹理坐标
// α + β + γ = 1，α,β,γ ≥ 0

对于三角形内部点 p = α·A + β·B + γ·C：
u(p) = α·u_A + β·u_B + γ·u_C
v(p) = α·v_A + β·v_B + γ·v_C

其中 (u_A,v_A), (u_B,v_B), (u_C,v_C) 是顶点 A,B,C 处存储的纹理坐标。

让我们看一个单三角形的例子。图 11.11 显示了一个三角形，其纹理映射了我们熟悉的测试图案的一部分。通过查看渲染三角形上出现的图案，你可以推断出三个顶点的纹理坐标分别是 (0.2,0.2), (0.8,0.2) 和 (0.2,0.8)——因为这些正是出现在三角形三个角处的纹理中的点。

就像前一节中的几何确定映射一样，我们通过指定从表面到纹理域的映射来控制纹理在表面上的位置——在本例中是通过指定每个顶点在纹理空间中应该位于哪里。一旦你定位了顶点，跨三角形的线性（重心）插值就处理了其余部分。

在图 11.12 中，我们展示了一种可视化整个网格上的纹理坐标的常用方法：在纹理空间中绘制三角形，顶点位于其纹理坐标处。这被称为网格的UV 布局（UV layout）。

11.2.3 纹理平铺、环绕与变换

纹理坐标不一定需要限制在 [0,1]² 中。当坐标超出该范围时，环绕模式（wrapping mode）决定如何将纹理坐标映射到纹理中的位置。本质上，我们将纹理从有限图像数据扩展为在整个无限 2D 平面上定义的函数。

最常见的环绕模式有三种：

• 平铺（Tiling / Repeat）：纹理的每个整数单元重复。这是默认值，对于墙纸、地毯和地形效果很好。实现上使用取模运算：

  Color texture_lookup_tile(Texture t, float u, float v) {
    int i = round(u * t.width() - 0.5)
    int j = round(v * t.height() - 0.5)
    return t.get_pixel(i % t.width(), j % t.height())
  }

• 钳位（Clamp）：纹理坐标被限制在图像范围内。超出范围的坐标使用纹理边缘处的值。对于贴花、标签或不希望重复的纹理很有用：

  Color texture_lookup_clamp(Texture t, float u, float v) {
    int i = round(u * t.width() - 0.5)
    int j = round(v * t.height() - 0.5)
    i = max(0, min(i, t.width() - 1))
    j = max(0, min(j, t.height() - 1))
    return t.get_pixel(i, j)
  }

• 镜像（Mirror）：纹理在每个整数边界处翻转。这避免了可见的接缝，同时仍然实现重复效果——在奇数编号的副本中，纹理坐标被反转。

此外，在纹理查找之前，可以将一个矩阵变换应用于纹理坐标。这在调整纹理的尺度、位置和旋转时非常方便——不需要实际改变生成纹理坐标的函数或存储在网格顶点处的纹理坐标值。常见的变换包括：

// 纹理坐标矩阵变换
// 在采样前对 (u,v) 应用仿射矩阵

[u']   [s_u    0    t_u] [u]
[v'] = [0     s_v   t_v] [v]
[0 ]   [0      0    1  ] [1]

其中 s_u, s_v 是缩放因子，t_u, t_v 是平移量
还可以加入旋转：u' = u·cos(θ) − v·sin(θ), v' = u·sin(θ) + v·cos(θ)

缩放纹理会改变纹理在表面上的大小（缩放 v 压缩或拉伸纹理）；旋转纹理可以改变图案方向；偏移可以平移纹理。为这种变换添加动画——随时间改变偏移（产生流动效果）或旋转（产生旋转的天空）——是一种低成本但效果显著的特效技术，广泛用于水面、云层和传送门效果中。

11.2.4 渲染系统中的纹理坐标

纹理坐标是正在渲染的模型（model）的一部分，场景描述需要包含足够的信息来定义它们是什么。大多数情况下，这意味着将纹理坐标存储为所有将使用纹理的三角网格的逐顶点属性（per-vertex attributes）。如果渲染系统直接支持除网格之外的几何图元，这些图元通常具有预定义的纹理坐标（如球面上的纬度-经度坐标），可能还有每种图元类型可选的映射方案。

在光线追踪（ray tracing）渲染器中，每种支持光线求交的表面类型必须能够计算不仅交点位置和表面法线，还包括交点的纹理坐标。与其他关于交点的信息一样，纹理坐标可以存储在命中记录（hit record，见第 4.4.3 节）中。在由三角网格表示的几何体常见情况下，光线-三角形求交代码将通过从存储在顶点处的纹理坐标进行重心插值来计算纹理坐标；对于其他类型的几何体，求交代码必须直接计算纹理坐标。

在基于光栅化（rasterization）的系统中，三角形通常是唯一支持的几何体类型，因此所有表面都必须转换为此形式。纹理坐标可以与模型一起读入（常见情况），或者对于在代码中生成的三角网格，可以在创建网格时计算和存储。另外，对于可以从其他顶点数据计算出的纹理坐标（例如，从 3D 位置计算纹理坐标），纹理坐标也可以在顶点着色器（vertex shader）中计算并传递给光栅化器。纹理坐标然后由光栅化器进行透视校正插值，使得每次片元着色器（fragment shader）的调用都获得其片元的适当纹理坐标。

11.3 纹理查找的抗混叠

纹理映射的第二个根本问题是抗混叠（antialiasing）。渲染纹理映射后的图像是一个采样过程（sampling process）：将纹理映射到表面上然后将表面投影到图像中，在图像平面上产生了二维函数，而我们在像素处对该函数进行采样。正如第 10 章所见，使用点采样会在图像包含细节或锐利边缘时产生混叠伪影——而纹理的全部意义就是引入细节，因此它们成为混叠问题的主要来源（如图 11.3 所示）。

正如线条和三角形的抗混叠光栅化（第 9.3 节）、抗混叠光线追踪或图像降采样（第 10.4 节）一样，解决方案是使每个像素不是点采样，而是在与像素相似大小的区域上对图像进行面积平均（area average）。使用与抗混叠光栅化和光线追踪相同的超采样（supersampling）方法，以足够多的样本，可以在不改变纹理映射机制的情况下获得出色的结果：像素区域内的多个样本将落在纹理图中的不同位置，平均使用不同纹理查找计算的着色结果是近似像素上图像平均颜色的准确方式。然而，对于细节丰富的纹理，需要非常多��样本才能获得好结果——这很慢。在有表面纹理的情况下高效计算这种面积平均是纹理抗混叠的第一个关键主题。

纹理图像通常由栅格图像定义，因此还有一个重建问题（reconstruction problem）需要考虑，正如图像上采样（第 10.4 节）一样。纹理的解决方案相同：使用重建滤波器（reconstruction filter）在纹素之间进行插值。

11.3.1 像素的足迹

纹理抗混叠比其它类型抗混叠更复杂的原因在于：渲染图像与纹理之间的关系在不断变化。每个像素值应该计算为图像中属于该像素的区域上的平均颜色。在常见情况下像素正在"看着"单个表面，这对应于在表面的一个区域上取平均。如果表面颜色来自纹理，这反过来又对应于在纹理的相应部分——被称为像素的纹理空间足迹（texture space footprint）——上取平均。图 11.16 说明了方形区域（可能是低分辨率图像中的像素区域）的足迹如何映射到地板纹理空间中非常不同大小和形状的区域。

回顾渲染纹理时涉及的三个空间：将 3D 点映射到图像的投影 π，以及将 3D 点映射到纹理空间的纹理坐标函数 φ。为了处理像素足迹，我们需要理解这两个映射的复合：首先沿 π 反向从图像到达表面，然后沿 φ 正向到达纹理空间。这个复合映射：

ψ = φ ∘ π⁻¹

即：ψ(image_point) = φ(π⁻¹(image_point))

该复合映射决定了像素足迹：
一个像素的足迹是该像素在图像中的方形区域在映射 ψ 下的像。

具体来说：
图像中一个面积为 A_p 的像素，经 π⁻¹ 映射到表面上面积为 A_s 的片元，
再经 φ 映射到纹理空间中面积为 A_tex 的区域（即足迹）。

足迹的大小由 ψ 的雅可比矩阵（Jacobian）的行列式给出：
A_tex ≈ A_p · |det(J_ψ)|
其中 J_ψ 是 ψ 在像素中心处的雅可比矩阵。

纹理抗混叠（texture antialiasing）的核心问题是：计算纹理在足迹上的平均值，并返回该平均值作为纹理样本。这正是保证像素颜色不含混叠的纹理值。

如图 11.16 所示，方形区域映射到纹理空间中形状和大小差异极大的区域。近距离低掠角被放大（足迹小），远距离高掠角被极度拉伸（足迹细长且面积大）。在典型场景中，每个像素的足迹大小和形状都不同。

像素足迹的椭圆近似

由于真实的像素足迹形状可能非常复杂（受表面曲率和透视投影的复合影响），实际硬件（GPU 纹理单元）使用椭圆近似（elliptical approximation）来简化问题。椭圆可以用两个轴（长轴和短轴）和方向完全描述，这自然引出各向异性滤波的概念。

// 像素足迹的椭圆近似 —— 构建雅可比矩阵

出发点：纹理坐标 (u,v) 是屏幕坐标 (x,y) 的函数。
我们需要 ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x, ∂v/∂y——纹理坐标对屏幕坐标的偏导数。

在 GPU 中，这些通过 ddx() 和 ddy() 函数获得（着色器中的内置函数）：
  ddx(u) = ∂u/∂x  ≈ 相邻像素之间 u 的差值（在 2×2 像素四边形上计算）
  ddy(u) = ∂u/∂y
  ddx(v) = ∂v/∂x
  ddy(v) = ∂v/∂y

// 构建 2×2 雅可比矩阵 J：
J = [ ∂u/∂x    ∂u/∂y ]
    [ ∂v/∂x    ∂v/∂y ]

// 像素足迹的尺度由矩阵 M = J·Jᵀ 的特征值决定：

M = [ (∂u/∂x)²+(∂u/∂y)²     (∂u/∂x)(∂v/∂x)+(∂u/∂y)(∂v/∂y) ]
    [ (∂u/∂x)(∂v/∂x)+(∂u/∂y)(∂v/∂y)   (∂v/∂x)²+(∂v/∂y)²   ]

// M 的特征值 λ₁, λ₂（λ₁ ≥ λ₂ ≥ 0）给出椭圆轴的长短：
长轴长度（以纹素为单位）：σ_max = sqrt(λ₁)  → 覆盖最多纹素的方向
短轴长度（以纹素为单位）：σ_min = sqrt(λ₂)  → 覆盖最少纹素的方向

// 各向异性比率（anisotropy ratio）：
R = σ_max / σ_min

当 R = 1 时：足迹接近圆形 → 各向同性，普通 mipmap 即可
当 R > 1 时：足迹呈椭圆形 → 需要各向异性滤波
典型值：掠射角查看地面 → R ≈ 8–16
      远距离倾斜墙面 → R ≈ 4–8

这一形式化分析解释了为什么各向异性滤波在掠射角处如此重要：当 R=16 时，一个各向同性 mipmap 样本必须覆盖面积比例约为 R²=256 倍于实际需要的区域，造成极端模糊。

11.3.2 重建

当纹理被放大（magnified）——即像素足迹小于纹素间距时——我们需要在纹素之间进行插值以重建连续信号。正如第 10 章图像上采样一样，重建滤波器（reconstruction filter）提供了纹素之间的平滑过渡。

简单的最近邻（nearest-neighbor）采样仅选取坐标落入的纹素——这在放大时产生块状伪影，在缩小时产生严重的混叠。通过在采样之前使用重建滤波器——如双线性插值（bilinear interpolation，即帐篷滤波器）——可以大幅减少（但无法完全消除）这些伪影。

// 双线性插值纹理采样（重建滤波器）
// 将纹理空间样本点表达为实值纹素坐标，
// 读取四个相邻纹素并加权平均

Color tex_sample_bilinear(Texture t, float u, float v) {
  u_p = u * t.width - 0.5
  v_p = v * t.height - 0.5

  iu0 = floor(u_p);  iu1 = iu0 + 1
  iv0 = floor(v_p);  iv1 = iv0 + 1

  a_u = (iu1 - u_p);  b_u = 1 - a_u    // u 方向插值权重
  a_v = (iv1 - v_p);  b_v = 1 - a_v    // v 方向插值权重

  // 先沿 u 方向在两条 v 线上各做一次线性插值
  // 再沿 v 方向在两次结果之间做线性插值
  return a_u*a_v * t[iu0][iv0] + a_u*b_v * t[iu0][iv1]
       + b_u*a_v * t[iu1][iv0] + b_u*b_v * t[iu1][iv1]
}

在许多系统中，此操作成为重要的性能瓶颈——主要是因为读取四个纹素值涉及的内存延迟。纹理的样本点模式是不规则的（因为从图像到纹理空间的映射是任意的），但通常是连贯的（coherent）——因为邻近的图像点往往映射到可能读取相同纹素的邻近纹理点。因此，高性能系统有专用的纹理采样硬件（texture sampling hardware），处理插值并管理最近使用的纹理数据的缓存，以尽量减少从纹理数据存储内存中缓慢获取数据的次数。

阅读第 10 章后，你可能会抱怨线性插值对于某些高要求应用可能不够平滑。然而，通过在加载纹理时用一个更好的滤波器将其重采样到稍高的分辨率，使纹理足够平滑以至于双线性插值工作良好，这总是可以变得足够好。

11.3.3 Mipmapping

当纹理被缩小（minified）——即像素足迹覆盖许多纹素时——良好的抗混叠需要计算许多纹素的平均值以平滑信号，使其能够安全地以较低的速率被采样。

一个非常精确的计算足迹内纹理平均值的方法是找到足迹内的所有纹素并将它们加起来。然而，当足迹很大时，这可能极其昂贵——单个查找可能需要读取数千个纹素。更好的方法是预先计算并存储纹理在不同大小和位置的各种区域上的平均值。

这个想法的一个非常流行的版本被称为MIP 映射（MIP mapping）或简称mipmapping。名字 "mip" 代表拉丁短语 multim in parvo，意思是"以小博大"或在狭小空间中包含大量信息。一个mipmap 是一系列纹理，它们都包含相同的图像但分辨率越来越低。原始的、全分辨率的纹理图像称为基础级别（base level）或 mipmap 的级别 0（level 0）；通过将该图像在每个维度上降采样 2 倍生成级别 1，产生纹素数量为四分之一的新图像——粗略来说，该图像中的纹素是级别 0 图像中 2×2 纹素大小方形面积的平均值。

继续这个过程可以定义任意多个 mipmap 级别：级别 k 的图像通过对级别 k−1 的图像以 2 倍降采样来计算。级别 k 处的一个纹素对应于原始纹理中 2ᵏ × 2ᵏ 纹素的方形区域。例如，从 1024×1024 的纹理图像开始，我们可以生成一个 11 级的 mipmap：级别 0 是 1024×1024；级别 1 是 512×512；以此类推直到级别 10，只有一个纹素。这种结构——用一系列越来越低的采样率表示相同内容的图像——被称为图像金字塔（image pyramid），基于将所有较小图像堆叠在原始图像顶部的视觉隐喻。

// Mipmap 存储成本
// 额外存储 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3

内存：对于原始 N×N 纹理，mipmap 总存储：
N² × (1 + 1/4 + 1/16 + ...) = N² × 4/3

仅增加 33% 的内存！

11.3.4 使用 Mipmap 的基本纹理滤波

有了 mipmap（图像金字塔）在手，纹理滤波可以比单独访问许多纹素高效得多。当我们需要在大面积上取平均的纹理值时，我们简单地使用 mipmap 的较高级别的值——这些值已经是图像大面积上的平均值。最简单和最快的方法是查找 mipmap 中的单个值，选择级别使得该级别纹素覆盖的大小大致与像素足迹的整体大小相同。当然，像素足迹的形状可能与纹素表示的（始终是方形的）区域非常不同，我们可以预期这会产生一些伪影。

将像素足迹形状问题暂时搁置，假设足迹是一个方形，宽度为 D（以全分辨率纹理中的纹素数衡量）。采 mipmap 的哪个级别合适？由于级别 k 处的纹素覆盖 2ᵏ 宽度的方形，合适的选择是：

// Mipmap 级别选择

2ᵏ ≈ D

即：k = log₂(D)

其中 D 是像素足迹在纹理空间中的大小（以纹素为单位）。
k 通常是分数的——我们需要在整数级别之间进行混合。

在实际上撰写 mipmap 采样算法之前，我们必须决定当足迹不是方形时如何选择"宽度"D。一些可能的方法：使用足迹面积的平方根，或找到足迹的最长轴并称其为宽度。一个易于计算的实用折衷方案是使用最长边的长度：

D = max{∥∂u/∂x∥, ∥∂u/∂y∥, ∥∂v/∂x∥, ∥∂v/∂y∥}

即：纹理坐标对屏幕坐标的偏导数向量的最大范数。
在 GPU 中，这被称为 ddx(u), ddy(u), ddx(v), ddy(v)。

// 三线性 Mipmap 采样
// 在两个整数级别上各做一次双线性，再在级别间线性混合

Color mipmap_sample_trilinear(Texture mip[], float u, float v,
                               matrix J) {
  D = max(∥∂u/∂x∥ ∥∂u/∂y∥, ∥∂v/∂x∥, ∥∂v/∂y∥)
  k = log₂(D)

  k0 = floor(k)      // 下方整数级别
  k1 = k0 + 1        // 上方整数级别
  a = k1 - k         // 到 k1 的距离 = 小数部分 = d
  b = 1 - a          // 到 k0 的距离 = 1 − d

  c0 = tex_sample_bilinear(mip[k0], u, v)  // 粗级别双线性
  c1 = tex_sample_bilinear(mip[k1], u, v)  // 细级别双线性
  return a * c0 + b * c1                     // 级别间线性混合
}

// 混合权重 d = k − floor(k) 是级别选择参数的小数部分
// 当 d = 0 时，全部用级别 k0
// 当 d = 1 时，全部用级别 k1
// 当 d = 0.5 时，两个级别各一半

基本的 mipmapping 在去除混叠方面做得很好，但由于它无法处理细长的或各向异性（anisotropic）的像素足迹，当表面以掠射角（grazing angles）查看时表现不佳。这在表示观众所站立地面的较大平面上最为常见。地板上的远处点以非常陡峭的角度被查看，导致非常各向异性（高度细长）的足迹——但 mipmapping 用一个远大于足迹短轴的正方形区域来近似这种足迹。结果图像在水平方向会显得模糊——因为使用了过于粗糙的级别来覆盖短轴。

11.3.5 各向异性滤波

可以使用 mipmap 进行多次查找（multiple lookups）来更好地近似细长的足迹。想法是：基于足迹的最短轴（shortest axis）选择 mipmap 级别——以保留沿短轴的细节——然后沿最长轴（longest axis）取多个样本来覆盖足迹的长度。

// 各向异性滤波：用矩形足迹而非正方形足迹

原理：
1. 计算足迹的短轴长度 S 和长轴长度 L
2. 基于 S 选择 mipmap 级别：k = log₂(S)
   —— 这保留了沿压缩方向（短轴）的全部细节
3. 沿长轴方向取 N = ceil(L/S) 个样本
   —— 每个样本在较高分辨率（沿长轴清晰）和较低分辨率（沿短轴抗混叠）之间取得平衡
4. 对所有 N 个样本取平均

// 各向异性比率 R = L/S
// GPU 支持典型的各向异性级别：2×, 4×, 8×, 16×
// 算法限制沿长轴的最多样本数为硬件支持的级别

各向异性滤波以中等性能开销解决了 mipmapping 的模糊问题。对于以斜角查看的纹理——如走廊地板、赛道或航空摄影——各向异性滤波提供了显著的视觉质量提升。现代 GPU 原生支持高达 16× 的各向异性滤波。

各向异性滤波采样模式的数学定义

各向异性滤波的核心算法沿像素足迹椭圆的长轴取多个样本，每个样本从一个选定的 mipmap 级别读取。这里给出完整的采样模式定义：

// 各向异性滤波的完整采样模式

给定：
  - 纹理坐标 (u, v) 及其屏幕空间梯度 ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x, ∂v/∂y
  - 最大各向异性级别 A_max（硬件上限，如 16）

步骤 1：计算长短轴

构建雅可比矩阵 J = [dux duy; dvx dvy] (2×2)
其中 dux=∂u/∂x, duy=∂u/∂y, dvx=∂v/∂x, dvy=∂v/∂y

M = J·Jᵀ (2×2 对称正定矩阵)
  M[0][0] = dux² + duy²
  M[0][1] = M[1][0] = dux·dvx + duy·dvy
  M[1][1] = dvx² + dvy²

特征值（解析解，2×2 矩阵可用闭式公式）：
  trace = M[0][0] + M[1][1]
  det = M[0][0]·M[1][1] − M[0][1]²
  λ₁ = (trace + sqrt(trace² − 4·det)) / 2    // 大特征值
  λ₂ = (trace − sqrt(trace² − 4·det)) / 2    // 小特征值

短轴长度（决定 mipmap 级别）：S = sqrt(λ₂)
长轴长度（决定采样范围）：L = sqrt(λ₁)

特征向量（长轴方向）：
  v_max 与向量 (M[0][1], λ₁ − M[0][0]) 共线
  归一化后：d = normalize(v_max)  // 长轴方向的单位向量

步骤 2：确定采样参数

各向异性比率：R = min(L / S, A_max)  → 限制在硬件支持范围内
mipmap 级别：k = log₂(S)             → 基于短轴，保留细节
采样点数：N = ceil(R)                → 至少 1 个，最多 A_max 个

步骤 3：在纹理空间中放置采样点

沿长轴方向 d，在纹理空间中均匀分布 N 个采样点：

对于 i = 0, 1, ..., N−1：
  偏移量 o_i：从中心沿长轴方向偏移

  o_i = (−(N−1)/2 + i) · d · (L / N)

  第 i 个采样点的纹理坐标：
    (u_i, v_i) = (u, v) + o_i

  // 物理含义：N 个采样点均匀覆盖椭圆长轴的长度范围 [−L/2, L/2]
  // 相邻采样点之间的间距 = L/N ≈ S（约等于短轴长度）

步骤 4：对每个采样点执行三线性采样

对于 i = 0, 1, ..., N−1：
  color_i = mipmap_sample_trilinear(mip[], u_i, v_i, k)
  // 每个样本在级别 k 和 k+1 之间三线性（基于短轴的 mip 级别）

最终颜色 = (1/N) · Σ_i color_i

// 性能分析：
// - N=1 时退化为标准的三线性 mipmap（各向同性）
// - N=16 时每个像素需要 16×2=32 次双线性纹理读取
//   但为长轴方向的模糊提供了正确的高频抑制

11.4 纹理映射的应用

一旦一个系统具备了将图像映射到表面上的基本能力，就会出现一系列不只限于颜色映射的应用。在本节中，我们概述了现代渲染中最重要的几种纹理映射应用。

11.4.1 控制着色参数

最直接的应用是漫反射贴图（diffuse map）——用纹理控制被渲染表面的漫反射颜色。表面上每个着色点处的纹理值用作着色模型中的 k_d。这个概念可以推广到控制着色模型中的任何参数。在基于物理的渲染（PBR, physically based rendering）中，多个纹理映射被用于控制材质参数：

• 粗糙度/光滑度贴图（roughness/smoothness map）：控制微表面分布——在纹理的亮区表面光滑有清晰高光，暗区表面粗糙有模糊高光。
• 金属度贴图（metallic map）：区分导体（金属，镜面反射有色）和介电质（非金属，镜面反射无色）区域。
• 环境光遮蔽贴图（ambient occlusion map）：提供预计算的软阴影——裂缝、凹槽和褶皱处的暗区。
• 自发光贴图（emissive map）：标记自身发光的表面区域（如发光二极管、控制面板指示灯）。

这些纹理中的每一个都由着色器以通常的方式采样，以调制 BRDF 的相应参数。图 11.20 展示了一个陶瓷杯子，其镜面粗糙度由漫反射颜色纹理的反转副本控制。

11.4.2 法线贴图与凹凸贴图

着色时另一个重要的量是表面法线（surface normal）。通过插值法线（第 9.2 节），我们知道着色法线不必与底层表面的几何法线相同。法线贴图（normal mapping）利用这一事实，使着色法线依赖于从纹理贴图中读取的值。

在使用法线贴图之前，我们需要知道从贴图中读取的法线表示在什么坐标系中。直接在物体空间（object space）中存储法线——与表示表面几何体本身相同的坐标系——是最简单的：从贴图中读取的法线可以与表面本身报告的法线完全相同地使用，在大多数情况下，它需要转换到世界空间进行光照计算。

然而，存储在物体空间中的法线贴图与表面几何体固有地绑定——即使法线贴图要"无效果"（即重现几何法线的结果），法线贴图的内容也必须跟踪表面的方向。此外，如果表面将变形，使得几何法线改变，物体空间法线贴图就不能再被使用。解决方案是为法线定义一个附加到表面上的坐标系。这样的坐标系可以基于表面的切线空间（tangent space，见第 2.7 节）：选择一对切向量并用它们定义一个标准正交基（orthonormal basis，第 2.4.5 节）。

// 切线空间的构造（TBN 矩阵）

给定表面上一点 p，其几何法线为 N_g：
1. 选择切向量 T = normalize(∂p/∂u)
   —— u 纹理坐标变化最快的方向
2. 副切向量 B_raw = ∂p/∂v
   —— v 纹理坐标变化的方向，通常不与 T 正交
3. 正交化：B = normalize(B_raw − (T·B_raw)·T)
   或直接使用叉积：B = normalize(N_g × T)
4. 构建 TBN 矩阵（将切线空间向量变换到世界空间）：

              [Tx  Bx  Nx]
    TBN_p =   [Ty  By  Ny]
              [Tz  Bz  Nz]

5. 法线贴图读取的值 n_tangent（通常在切线空间中，
   RGB 映射为 XYZ，(0.5,0.5,1.0) 对应 (0,0,1) 即"无扰动"法线）
   变换到世界空间：n_world = TBN_p · n_tangent

当法线在此基中表达时，它们的变化要少得多：由于它们大多指向平滑表面法线的附近方向，在法线贴图中它们将接近 (0,0,1)ᵀ 向量——RGB 值接近 (0.5, 0.5, 1.0)，即法线贴图中标志性的淡蓝色。

法线贴图从何而来？通常它们从平滑表面是其近似的更详细模型计算而来；有时它们可以直接从真实表面测量得出。它们也可以作为建模过程的一部分创作；在这种情况下，使用凹凸贴图（bump map）来间接指定法线常常是很方便的。想法是：凹凸贴图是一个高度场（height field）——一个给出详细表面在平滑表面之上的局部高度的函数。值高的地方（如果显示为图像则看起来很亮），表面凸出在平滑表面之外；值低的地方（看起来很暗），表面沉入平滑表面以下。

// 从凹凸贴图（高度场 h(u,v)）推导法线贴图

在切线空间中：
n_tangent = normalize( −∂h/∂u , −∂h/∂v , 1 )

其中数值偏导数：
∂h/∂u ≈ [ h(u+Δu, v) − h(u−Δu, v) ] / (2·Δu)
∂h/∂v ≈ [ h(u, v+Δv) − h(u, v−Δv) ] / (2·Δv)

Δu, Δv 通常取一个纹素的宽度。

直观理解：
−∂h/∂u 表示"u 方向向上坡则法线向左偏"
−∂h/∂v 表示"v 方向向上坡则法线向下偏"
(0,0,1) 表示"平坦地面法线直指上方"

图 11.21 展示了纹理贴图被用于创建木纹颜色以及模拟由于漆面浸入木材较多孔部分而增加的表面粗糙度，同时配合凹凸贴图创建不平整的表面和木板之间的间隙，从而制作逼真的木地板。

凹凸贴图的有限差分与法线扰动：完整推导

凹凸贴图的核心思想是用一个标量高度场 h(u,v) 来隐式定义表面微观几何体。要从高度场推导出扰动后的着色法线，需要计算高度场的局部偏导数并通过叉积构造新的法线方向。以下是完整的数学推导：

// 从凹凸贴图推导扰动法线的完整公式

给定：平滑表面的参数化 p(u,v) 和高度的凹凸贴图 h(u,v)

步骤 1：定义扰动后的表面

扰动表面上的点：
  p'(u,v) = p(u,v) + h(u,v) · N(u,v)

其中 N(u,v) = normalize(p_u × p_v) 是平滑表面的单位法线
h(u,v) 是沿法线方向的位移量（正=凸起，负=凹陷）

步骤 2：计算扰动表面的切向量（对 u,v 的偏导数）

∂p'/∂u = ∂p/∂u + (∂h/∂u)·N + h·(∂N/∂u)      // 乘积法则

对于微小的凹凸（h 很小），h·(∂N/∂u) 项可忽略：
∂p'/∂u ≈ ∂p/∂u + (∂h/∂u)·N                    // 近似
∂p'/∂v ≈ ∂p/∂v + (∂h/∂v)·N

// 这就是 Blinn (1978) 原始凹凸贴图的核心近似：
// 忽略表面弯曲对法线方向的二阶影响，只保留一阶高度变化

步骤 3：计算扰动后的表面法线

N' = ∂p'/∂u × ∂p'/∂v                         // 叉积给出新法线

在切线空间（T,B,N）中展开：
  令 T = ∂p/∂u（未归一化的切向量）
  令 B = ∂p/∂v（未归一化的副切向量）

  ∂p'/∂u = T + (∂h/∂u)·N
  ∂p'/∂v = B + (∂h/∂v)·N

  N' = (T + h_u·N) × (B + h_v·N)
     = T×B + h_u·(N×B) + h_v·(T×N) + h_u·h_v·(N×N)

  T×B = N（未归一化）
  N×B = −(B×N) = −(方向与切平面不同）→ 在切线空间中：N×B = −T_perp
  T×N = −(N×T) = −(方向与切平面不同）→ 在切线空间中：T×N = −B_perp
  N×N = 0

// 特殊情况：当 T, B, N 构成标准正交基时（Gram-Schmidt 正交化后）：
  N' ≈ −h_u · B  +  h_v · T  +  N

直观理解：
  −h_u 的系数在 B 方向上：u 增加 → 高度上升 → 法线向 −B 倾斜
  +h_v 的系数在 T 方向上：v 增加 → 高度上升 → 法线向 −T 倾斜
  +1 的系数在 N 方向上：大部分法线仍指向外

步骤 4：归一化

n_tangent = normalize( −∂h/∂u , −∂h/∂v , 1 )
         = ( −h_u, −h_v, 1 ) / sqrt( h_u² + h_v² + 1 )

// 步骤 5：有限差分数值计算

设凹凸贴图的纹素尺寸为 Δu = 1/w, Δv = 1/h（纹理图像的纹素间距）

中心差分（精度 O(Δ²)，优于前向或后向差分的 O(Δ)）：
  ∂h/∂u ≈ [ h(u+Δu, v) − h(u−Δu, v) ] / (2·Δu)
  ∂h/∂v ≈ [ h(u, v+Δv) − h(u, v−Δv) ] / (2·Δv)

// 在最简单的实现中，前向差分已足够：
  ∂h/∂u ≈ h(u+Δu, v) − h(u, v)
  ∂h/∂v ≈ h(u, v+Δv) − h(u, v)
// 其中 h 值直接从凹凸贴图纹理读取（通常归一化到 [0,1]）

步骤 6：缩放因子

从 [0,1] 纹理值映射到实际高度：
  h_actual = bump_scale · (texel_value − 0.5)

bump_scale 控制凹凸的总体强度：
  - 太小 → 凹凸不明显
  - 太大 → 法线过度倾斜 → 光照看起来"破碎"
  - 典型值：0.02–0.1（以表面尺寸的单位衡量）

11.4.3 位移贴图

法线贴图的一个问题是它们实际上根本不改变表面；它们仅仅是一个着色技巧（shading trick）。当法线贴图暗示的几何体应该在三维中产生明显的效果时，这一点就变得明显。在静止图像中，通常最先注意到的问题是物体的轮廓（silhouettes）保持平滑，尽管内部出现了凸起的外观。在动画中，视差（parallax）的缺失暴露了这些凸起——无论多么令人信服——实际上只是"画"在表面上的。

位移贴图（displacement mapping）使用纹理来实际改变几何体。概念与凹凸贴图相同：一个标量（单通道）贴图，给出在"平均地形"上方的高度。但效果不同——位移贴图不是从高度图推导着色法线并继续使用平滑几何体，而是实际改变表面，将每个点沿平滑表面的法线移动到一个新位置：

// 位移贴图：改变几何体

对于表面上每个点 p：
p' = p + h(p) · n(p)

其中 h(p) 是从位移贴图中读取的高度值
n(p) 是该点的几何法线

// 与凹凸贴图的对比：
// 凹凸贴图：n_shading = f(n_geom, ∂h/∂u, ∂h/∂v)  —— 仅改变法线
// 位移贴图：p' = p + h·n                        —— 实际移动顶点

实现位移贴图的最常见方法是用大量小三角形细分平滑表面，然后使用位移贴图置换结果网格的顶点。在图形管线中，这可以通过在顶点阶段进行纹理查找来完成，并且对于地形特别方便。在现代 GPU 上，位移贴图通常通过曲面细分着色器（tessellation shader）实现，该着色器在渲染之前动态地细分表面。

11.4.4 阴影贴图

阴影是场景中物体关系的重要线索。然而在光栅化渲染中如何获得阴影并不明显，因为表面是一次一个地、孤立地考虑的。阴影贴图（shadow mapping）是一种使用纹理映射机制从点光源获取阴影的技术。

阴影贴图的想法是表示被点光源照亮的空间体量。想象一个聚光灯或幻灯机，它从一个点向有限范围的方向发射光线。被照亮的体量——即你把手放在那里会看到光线的点的集合——是连接光源与沿离开该点的每条光线上最近表面点的线段并集。有趣的是，这个体量与位于光源相同点的透视摄像机可见的体量相同：一个点被光源照亮当且仅当它从光源位置是可见的。

阴影贴图的两通道算法（two-pass algorithm）：

// 阴影贴图算法

第一通道（从光源视角渲染）：
  将场景渲染到一张深度纹理（阴影贴图）中
  对于阴影贴图中的每个纹素：
    d_map = 从光源到最近表面的距离

第二通道（从摄像机视角渲染）：
  对于每个片元：
    d = 从片元到光源的距离
    将片元投影到阴影贴图以获取对应的 d_map
    if d < d_map + ε (shadow_bias):
      片元被照亮（它是光源看到的最近物体）
    else:
      片元处于阴影中（有其他东西更靠近光源）

这里 ε 是阴影偏移（shadow bias）——一个小的容差值，用于处理由于有限精度导致的错误自遮蔽（阴影粉刺，shadow acne）。因为所有涉及的量都是有限精度的近似值，可见点的 d ≈ d_map 但有时 d 会稍大一些，有时稍小一些。容忍度 ε 防止了这些表面被错误地自遮蔽。

阴影贴图的另一个关键细化是：在阴影贴图中查找时，在贴图中记录的深度值之间进行插值没有太大意义。这在平滑区域可能导致更精确的深度（需要更少的阴影偏置），但会在阴影边界附近造成更大的问题——那里的深度值突然改变。因此，阴影贴图中的纹理查找使用最近邻重建（nearest-neighbor reconstruction）。

为了减少混叠并对阴影边缘进行柔化，可以使用多个样本，并对 0 或 1 的阴影结果（而不是深度值）取平均；这被称为百分比渐近滤波（percentage closer filtering, PCF）：

// PCF（百分比渐近滤波）——柔和阴影

对于阴影贴图中片元投影位置周围的 N×N 邻域（如 3×3）：
  shadow = 0
  for each of the N² samples:
    read d_map at sample position
    if d + ε < d_map:
      shadow += 1
  shadow /= N²    // 0=完全阴影, 1=完全照亮

结果：在阴影边界处，部分样本在阴影中，部分被照亮
——产生过渡柔和的半影（penumbra）效果

阴影贴图的透视混叠与 PCF 详细分析

阴影贴图的一个核心问题是透视混叠（perspective aliasing）：从光源视角渲染的阴影贴图在透视投影下，近处的物体占据了许多纹素（高分辨率），而远处的物体被压缩到极少的纹素中（低分辨率）。从摄像机视角查看时，这种分辨率的不均匀分布表现为阴影边界的块状伪影。

// 阴影贴图的透视混叠：量化分析

设光源位于原点，使用标准的透视投影。
在深度 z 处，每个阴影贴图纹素覆盖的世界空间尺寸为：
  d_world(z) ≈ (2 · z · tan(θ/2)) / R

其中 θ 是光源的视场角，R 是阴影贴图的分辨率（宽度上的像素数）。

关键发现：d_world(z) ∝ z  —— 世界空间覆盖与深度成正比！

这意味着：
  z = 1m 处：1 个纹素覆盖 0.01m → 精细阴影
  z = 100m 处：1 个纹素覆盖 1.0m → 粗糙阴影

摄像机的深度缓冲器有相同的 z 依赖，但通常面向不同方向。
当摄像机看到光源方向的远处阴影时，摄像机可能需要 10 个像素
来显示一个阴影贴图纹素覆盖的区域 → 块状伪影。

// 缓解策略：

1. 级联阴影贴图 (Cascaded Shadow Maps, CSM)
   为不同的深度范围使用不同分辨率的多个阴影贴图：
     cascade_0: z ∈ [0, 10m]    → 1024×1024
     cascade_1: z ∈ [10, 40m]  → 512×512
     cascade_2: z ∈ [40, 150m] → 256×256
   每个级联覆盖更小的深度范围，减少透视混叠

2. 透视变形 (Perspective Warping)
   对光源的投影矩阵应用非线性变换，使阴影贴图像素在
   世界空间中分布更均匀——以牺牲近处的分辨率为代价换取
   远处的更好覆盖。

3. 对数深度缓冲器
   在深度值中使用对数编码替代线性编码：
   z_log = log(1 + α·z) / log(1 + α·far)
   使精度在近处和远处更加均衡

百分比渐近滤波 (PCF) 的完整算法

PCF 不仅柔化阴影边界，还通过多重采样降低阴影贴图的透视混叠。以下是完整的形式化定义：

// PCF（Percentage-Closer Filtering）——完整算法

输入：
  - 阴影贴图 shadow_map[w×h]，每个纹素存储深度值
  - 片元的世界空间位置 p
  - 光源的视图-投影矩阵 V_light, P_light

输出：
  - 光照可见性因子 visibility ∈ [0, 1]

算法：
  1. 将 p 变换到光源的裁剪空间：
     p_light = P_light · V_light · p

  2. 透视除法获得阴影贴图坐标：
     u_map = (p_light.x / p_light.w + 1) / 2
     v_map = (p_light.y / p_light.w + 1) / 2
     d_frag = p_light.z / p_light.w          // 片元到光源的深度

  3. 应用阴影偏移（避免阴影粉刺）：
     d_frag_biased = d_frag − shadow_bias

  4. PCF 核心循环 —— 在 N×N 纹素邻域中比较深度：

     设滤波器核大小为 K×K（典型值：3×3, 5×5, 7×7）
     设 du = 1/w, dv = 1/h（一个纹素在 UV 空间中的步长）

     lit_count = 0
     for i = 0 to K−1:
       for j = 0 to K−1:
         // 采样点在纹素中心的偏移（以纹素为单位）
         offset_u = (i − (K−1)/2) · du
         offset_v = (j − (K−1)/2) · dv

         d_map = texture_sample(shadow_map, u_map + offset_u, v_map + offset_v)

         if d_frag_biased <= d_map:
           lit_count += 1

     visibility = lit_count / (K·K)

  5. 可选：抖动采样（Jittered Sampling）

     为避免 PCF 本身的规则采样引入的新伪影（条带效应），
     每个像素使用不同的子纹素偏移。

     使用预计算的泊松圆盘（Poisson disk）或随机旋转的采样模式：
     for each of N_samples:
       (du_jitter, dv_jitter) = jitter_pattern[sample_index].rotated(random_angle)
       ... 同上深度比较 ...
       lit_count += result

     // 泊松圆盘采样确保采样点之间最小距离最大化
     // 旋转随机化消除了像素间的规则伪影

11.4.5 环境贴图

正如纹理方便地为表面着色引入细节而不必增加模型的细节一样，纹理也可以用于为照明（illumination）引入细节而不必建模复杂的光源几何体。当光线相对于视野中的物体大小来说来自远处时，照明在场景中从一点到另一点变化非常小。方便的做法是假设（assume）照明仅取决于你看向的方向，并且对于场景中的所有点都是相同的，然后使用环境贴图（environment map）来表达这种照明对方向的依赖。

环境贴图的想法是：一个定义在三维方向上的函数是定义在单位球面上的函数，因此它可以使用纹理贴图来表示——正如我们可能表示球状物体上的颜色变化一样。但我们不使用表面点的 3D 坐标来计算纹理坐标，而是使用方向向量（direction vector）的 3D 坐标——这个方向向量代表我们想要知道其照明情况的方向——应用完全相同的公式来计算纹理坐标。

环境贴图最简单的应用是为光线追踪器中没有击中任何物体的光线赋予颜色：

// 环境贴图在光线追踪中
trace_ray(ray, scene) {
  if (surface = scene.intersect(ray)) {
    return surface.shade(ray)
  } else {
    u, v = spheremap_coords(r.direction)
    return texture_lookup(scene.env_map, u, v)
  }
}

// 环境贴图在光栅化中——反射映射
shade_fragment(view_dir, normal) {
  out_color = diffuse_shading(k_d, normal)
  out_color += specular_shading(k_s, view_dir, normal)

  // 计算反射方向
  reflect_dir = view_dir − 2·(view_dir·normal)·normal
  u, v = spheremap_coords(reflect_dir)
  out_color += k_m * texture_lookup(environment_map, u, v)
}

关键的反射向量（reflection vector）公式来源于第 4.7 节：

// 反射向量的计算
r = d − 2(d·n)·n

其中 d 是入射方向（单位向量，从表面点指向摄像机）
n 是表面法线（单位向量）
r 是反射方向

// 推导：将 n 分量反转（见第 4.7 节），
// d 沿 n 的分量是 (d·n)·n
// 反射意味着将沿 n 的分量方向反转：
// r = d − (d·n)·n − (d·n)·n = d − 2(d·n)·n

这项技术被称为反射映射（reflection mapping）。更高级的环境贴图用法是计算来自环境贴图的全部照明，而不仅仅是镜面反射。这被称为环境照明（environment lighting），在光线追踪中可以使用蒙特卡洛积分（Monte Carlo integration）计算，在光栅化中可以通过将环境近似为一组点光源并计算许多阴影贴图来实现。

环境贴图可以存储在任何可用于球形映射的坐标中。球面（经度-纬度）坐标是一种流行的选择，尽管极点处的纹理压缩会浪费纹理分辨率并可能在极点产生伪影。立方体贴图（cubemaps）是更高效的选择，广泛用于交互式应用中（图 11.23）。

11.5 程序化三维纹理

在前几章中，我们使用 cᵣ 作为物体上一点的漫反射率。对于不具有纯色的物体，我们可以将其替换为一个函数 cᵣ(p)，该函数将 3D 点映射到 RGB 颜色（Peachey, 1985; Perlin, 1985）。这个函数可能仅仅返回包含 p 的物体的反射率。但对于有纹理的物体，我们应该期望 cᵣ(p) 随着 p 在表面上的移动而变化。

另一种定义将 3D 表面映射到 2D 纹理域的纹理映射函数的方法是创建三维纹理（3D texture），它定义 3D 空间中每个点的 RGB 值。我们只会对表面上的点 p 调用它，但为所有 3D 点定义它通常比为任意表面上 2D 点的一个可能奇怪的子集定义更容易。3D 纹理映射的好处是映射函数容易定义，因为表面已经嵌入在 3D 空间中，并且从 3D 到纹理空间的映射中没有失真（distortion）。这种策略显然适合于从固体介质中"雕刻"出来的表面，如大理石雕塑。

3D 纹理的缺点是将它们存储为 3D 栅格图像或体素（volumes）会消耗大量内存。因此，3D 纹理坐标最常与程序化纹理（procedural textures）一起使用——纹理值使用数学过程计算，而不是从纹理图像查找。本节中，我们看看用于定义程序化纹理的几个基本工具。

11.5.1 三维条纹纹理

制作条纹纹理的方法出奇地多。假设我们有两个颜色 c₀ 和 c₁，我们想用它们来制作条纹颜色。我们需要某个振荡函数在两种颜色之间切换。一个简单的方法是正弦函数：

// 基本三维条纹纹理

RGB stripe(point p) {
  if (sin(x_p) > 0) then
    return c₀
  else
    return c₁
}

// 可控宽度 w：
RGB stripe(point p, real w) {
  if (sin(π · x_p / w) > 0) then
    return c₀
  else
    return c₁

// 平滑过渡（t 参数在颜色间线性变化）：
RGB stripe(point p, real w) {
  t = (1 + sin(π · p_x / w)) / 2     // t ∈ [0,1]
  return (1 − t) · c₀ + t · c₁
}

这三种可能性显示在图 11.24 中。条纹是一种构建块——可以组合和扭曲以创建更复杂的图案。例如，通过用噪声函数扰动 x 坐标，条纹可以变成类似大理石的纹理。通过组合不同方向的条纹，可以产生格纹和编织图案。

11.5.2 固体噪声

虽然像条纹这样的规则纹理经常有用，但我们希望能够制作像鸟蛋上看到的那种"斑驳"纹理。这通常通过使用某种"固体噪声"（solid noise）来完成，通常被称为Perlin 噪声（Perlin noise）——以其发明者命名，他因其在电影工业中的影响而获得了奥斯卡技术成就奖（Perlin, 1985）。

对每个点调用随机数来获得噪态外观是不合适的，因为那样会像电视雪花中的"白噪声"一样。我们希望既保持随机品质又有平滑感。一种可能性是模糊白噪声，但这没有实际实现。另一种可能性是制作一个每个格点处有随机数的大格网，然后在这些随机点之间插值；但这使格网结构太明显。

Perlin 使用了各种技巧来改进这种基本格网技术，使格网不那么明显。这导致了一组看起来相当巴洛克的步骤，但本质上从线性插值 3D 随机值数组出发只有三个改变：

1. 使用Hermite 插值（Hermite interpolation）避免马赫带（Mach bands）——正如常规纹理可以做的那样。
2. 使用随机向量（random vectors）而不是值，用点积（dot product）来推导随机数——这通过将局部最小值和最大值移开网格顶点，使底层网格结构在视觉上不那么明显。
3. 使用一维数组和哈希（hashing）来创建一个虚拟的 3D 随机向量数组——以计算换取内存使用。

这是他的基本方法：

// Perlin 噪声的核心公式

            ⌊x⌋+1 ⌊y⌋+1 ⌊z⌋+1
n(x,y,z) =  Σ     Σ     Σ    Ω_ijk (x−i, y−j, z−k)
           i=⌊x⌋ j=⌊y⌋ k=⌊z⌋

其中 Ω_ijk(u,v,w) = ω(u)·ω(v)·ω(w) · (Γ_ijk · (u,v,w))

// ω(t) 是三次权重函数（Hermite 样条）：
ω(t) = { 2|t|³ − 3|t|² + 1   if |t| < 1
       { 0                    otherwise

// 更现代的实现使用五次多项式以获得 C² 连续性：
ω₅(t) = 6t⁵ − 15t⁴ + 10t³   (if |t| < 1, else 0)

// Γ_ijk 是格点 (i,j,k) 处的随机单位向量
// 通过一个伪随机查找表来生成：

由于我们想要任意 i,j,k，我们使用一个伪随机表：

Γ_ijk = G( φ( i + φ( j + φ(k) ) ) )

其中 G 是 n 个随机单位向量的预计算数组
φ(i) = P[i mod n]
P 是长度为 n 的数组，包含整数 0 到 n−1 的一个排列
Perlin 报告 n=256 效果良好。

// 随机单位向量的生成（拒绝采样法）：
随机选择 (v_x, v_y, v_z)，其中：
  v_x = 2ξ − 1
  v_y = 2ξ' − 1
  v_z = 2ξ'' − 1
  其中 ξ, ξ', ξ'' 是标准随机数（[0,1) 上的均匀分布）

if (v_x² + v_y² + v_z² < 1):
   normalize the vector  // 使其成为单位向量
else:
   reject and try again  // 丢弃立方体角落的点

Perlin 噪声梯度插值的完整数学推演

Perlin 噪声的核心是在三维整数格网上进行梯度插值。理解其完整数学构造需要追踪从格点选择到最终平滑值的每一步。以下是逐步骤的完整推演：

// Perlin 噪声的逐步骤完整推演

给定任意三维点 p = (x, y, z)

步骤 1：确定包围 p 的整数格胞（cell）

  整数格胞的八个角点为：
    (i0, j0, k0) = (⌊x⌋,   ⌊y⌋,   ⌊z⌋)      // 下-下-下角
    (i1, j0, k0) = (⌊x⌋+1, ⌊y⌋,   ⌊z⌋)      // 上-下-下角
    (i0, j1, k0) = (⌊x⌋,   ⌊y⌋+1, ⌊z⌋)      // ... (共 8 个角)
    (i0, j0, k1) = (⌊x⌋,   ⌊y⌋,   ⌊z⌋+1)
    (i1, j1, k0) = (⌊x⌋+1, ⌊y⌋+1, ⌊z⌋)
    (i1, j0, k1) = (⌊x⌋+1, ⌊y⌋,   ⌊z⌋+1)
    (i0, j1, k1) = (⌊x⌋,   ⌊y⌋+1, ⌊z⌋+1)
    (i1, j1, k1) = (⌊x⌋+1, ⌊y⌋+1, ⌊z⌋+1)

步骤 2：p 在每个角点处的相对位置向量

  对于角点 c = (i, j, k)：
    r_c = (x − i, y − j, z − k)    // 从角点指向 p 的向量

  这些向量在格胞内归一化：r_c 的每个分量 ∈ [0, 1]

步骤 3：每个角点处的梯度向量（通过哈希表查找）

  使用三重哈希查找随机但确定性的梯度向量：
    Γ(i, j, k) = G[ hash(i, j, k) mod n ]

  其中 hash 是传递函数：hash(i,j,k) = perm[ i + perm[ j + perm[k] ] ]
  perm[] 是 [0, 255] 的伪随机排列（Perlin 使用 n=256）
  G[] 是预计算的 256 个随机单位向量数组（方向均匀分布在球面上）

步骤 4：梯度点积（核心操作）

  对于每个角点 c，计算梯度向量与该点相对位置向量的点积：
    ψ_c = Γ_c · r_c

  物理含义：ψ_c 在格胞内部定义了一个从角点 c 发出的线性函数
  （其值在 c 处为零，沿 Γ_c 方向线性增长）。

  由于 Γ_c 是单位向量，|ψ_c| ≤ ∥r_c∥ ≤ √3（在 3D 格胞中）
  → 每个角点的贡献量级由 Γ_c 的方向和 r_c 的长度共同决定。

步骤 5：平滑权重函数（消除网格可见性）

  Perlin 使用的三次 Hermite 平滑（smoothstep）权函数：

    s(t) = 2t³ − 3t² + 1        // 经典形式，C¹ 连续
    或：
    s(t) = 6t⁵ − 15t⁴ + 10t³      // 改进形式，C² 连续（消除二阶导数跳变）

  对于 3D 情况，使用可分离的乘积形式：
    w(i,j,k) = s(x − i) · s(y − j) · s(z − k)

  其中 x−i, y−j, z−k 是 p 在格胞内的三个参数坐标（每个 ∈ [0,1]）。

步骤 6：加权求和（最终插值）

  对 8 个角点进行加权求和：
    noise(p) = Σ_{i∈{⌊x⌋,⌊x⌋+1}} Σ_{j∈{⌊y⌋,⌊y⌋+1}} Σ_{k∈{⌊z⌋,⌊z⌋+1}}
                  w(i,j,k) · ψ_ijk

            = Σ_{i,j,k} s(x−i)·s(y−j)·s(z−k) · (Γ_ijk · (x−i, y−j, z−k))

// 输出特性：
// - 值域：约 [−√3, √3]，实践中通常在 [−1, 1] 之间
// - 在整数格点处：noise(i, j, k) = 0（所有梯度贡献在角点处为零）
// - 格点处的偏导数：∂noise/∂x(i−,j,k) = Γ(i,j,k).x（梯度连续）
// - 全局 C¹（或 C²）连续性，消除了马赫带

这个构造的优雅之处在于：每个格胞内的值完全由 8 个角点的梯度向量和 Hermite 混合权函数决定——不需要任何全局信息，使得噪声在任意位置的计算具有局部性和常数时间复杂度。

梯度向量生成：球面上的均匀分布

// 通过拒绝采样生成均匀分布在球面上的单位向量

function generate_random_unit_vectors(N):
  vectors = []
  while len(vectors) < N:
    // 在 [-1,1]³ 的立方体中均匀采样
    x = random(-1, 1)
    y = random(-1, 1)
    z = random(-1, 1)

    // 拒绝立方体角点（位于球外部的点）
    if x² + y² + z² < 1:
      len = sqrt(x² + y² + z²)
      vectors.append( (x/len, y/len, z/len) )

  // 注意：也可以使用球面坐标的等面积参数化来避免拒绝：
  // θ = 2π·random(), φ = acos(1 − 2·random())
  // v = (sin(φ)·cos(θ), sin(φ)·sin(θ), cos(φ))
  return vectors

由于固体噪声可以是正值或负值，它在转换为颜色之前必须进行变换。噪声在 10×10 方形上的绝对值显示在图 11.25 中，以及拉伸版本。这些版本通过对输入到噪声函数的点进行缩放来拉伸。暗曲线是原始噪声函数从正变负的地方。

由于噪声从 −1 变化到 1，可以通过使用 (noise+1)/2 作为颜色来获得更平滑的图像。然而，由于接近 1 或 −1 的噪声值很少见，这将是一个相当平滑的图像——较大的缩放可以增加对比度（图 11.26）。

11.5.3 湍流

许多自然纹理在同一个纹理中包含各种特征尺寸。Perlin 使用了一个伪分形的"湍流"（turbulence）函数：

// 湍流（分形布朗运动 fBm）

           ∞
n_t(x) =   Σ   | n(2ⁱ · x) |  /  2ⁱ
          i=0

// 在实践中，截断到有限个八度（octaves）N：
           N
n_t(x) ≈   Σ   | n(2ⁱ · x) |  /  2ⁱ
          i=0

其中 n(x) 是 Perlin 噪声函数
每个后续八度：频率加倍（×2），幅度减半（÷2）
绝对值 |·| 在噪声穿过零的位置引入尖点——创建折痕和湍流边缘

这有效地将噪声函数的缩放版本反复叠加在自身上，如图 11.27 所示。绝对值操作创建了尖锐特征（sharp features）——尖点和折痕——使湍流噪声具有湍流的外观，而不是平滑的云状外观。

湍流可以用于扭曲条纹函数，产生类似大理石的纹理：

// 湍流条纹 —— 类似大理石的纹理

RGB turbstripe(point p, double w) {
  t = (1 + sin(k₁·z_p + turbulence(k₂·p)) / w) / 2
  return t * s₀ + (1 − t) * s₁
}

// k₁ 控制基础条纹频率
// k₂ 控制湍流扭曲的幅度和尺度
// 通过改变 k₁ 和 k₂ 可以产生各种大理石纹理（图 11.28）

通过改变八度的数量（控制细节的层次）、每个八度的缩放和绝对值的应用，程序化纹理可以匹配惊人的广泛自然现象——木纹、大理石、火焰、云层和侵蚀岩石——全部仅由数学运算生成，而无需任何图像存储，具有无限的分辨率，并且完全体积化。

这种形式的噪声被称为分形布朗运动（fractional Brownian motion, fBm），它被广泛用于地形生成、云层渲染和程序化材质。通过改变每个八度的频率倍增因子（不一定是 2）和幅度衰减因子（不一定是 2），可以调整湍流的"粗糙度"——较高的频率倍增因子产生更"锯齿状"的外观，较低的幅度衰减产生更"平滑"的过渡。

湍流的可视化与频谱分析

要真正理解湍流噪声的视觉效果，需要从频域（frequency domain）的视角分析 fBm 的构造。每个八度贡献的是一段特定的频率范围和相应的幅度——这自然引出了程序化纹理的"谱控制"范式：

// fBm（分形布朗运动）的频谱分析

标准的 fBm（分形布朗运动）定义：
                            ∞
  fBm(x) =  Σ  (1 / fⁱ) · noise(fⁱ · x)
                            i=0

考虑其在频域中的表现（一维简化）：

设基础频率为 f₀ = 1（对应八度 0 的特征尺度），
第 i 个八度贡献的频率范围为 [fⁱ·f₀, fⁱ⁺¹·f₀]，
对应的幅度为 (1/fⁱ)。

关键洞察：fBm 的功率谱密度（PSD）遵循幂律分布：
  P(f) ∝ 1 / f^β

其中 β 由频率倍增因子 f 和幅度衰减因子 a 的比值决定：
  β = 2 · log(a) / log(f) + 2

对于标准 Perlin 湍流（f = 2, a = 2）：
  β = 2 · log(2) / log(2) + 2 = 4

这意味着能量随频率的 4 次方衰减——高频（小尺度）细节的能量远小于低频（大尺度）结构。

// 不同 β 值的视觉效果：

β = 0（白噪声）：
  所有频率的能量相等 → 完全随机的像素噪声（电视雪花）
  不相关，无结构，无平滑度

β = 2（布朗噪声 / 红色噪声）：
  能量随 f² 衰减 → 平滑但缺少细节
  类似模糊的云或平滑的地形

β = 4（标准 fBm 湍流）：
  能量随 f⁴ 衰减 → 清晰的大尺度结构 + 适度的细节
  类似自然地形、有机纹理

β → ∞（纯低频）：
  只有最大的尺度 → 极度平滑，像被高斯模糊处理过

// 湍流随八度数增加的视觉演变

八度数 = 0：仅一个大的、平滑的波浪（类似 sin 函数但非周期）
八度数 = 1：在大波浪上叠加了较小振幅的中等波纹
八度数 = 2：在中等波纹上再叠加更小的涟漪
八度数 = 3：开始出现微观细节——噪声看起来"自然"
八度数 = 4：小尺度细节使噪声呈现有机质感
八度数 = 5+：额外细节已超出大多数应用的分辨率
  → 典型的自然纹理使用 4–6 个八度

// 带绝对值（湍流模式）的特殊效果

|noise| 在噪声过零处创建尖点（cusps）：
  - 在零交叉附近，|x| 的导数为 ±1（符号突变）
  - 这些尖点累积，在更高八度中产生折痕和褶皱
  - 视觉上模拟了湍流边界层中的涡流折痕
  - 这就是为什么带有绝对值的 fBm 看起来像
    大理石纹理中的"脉纹"而非平滑的云

湍流的大理石纹理示例——可视化描述

当湍流被用于扭曲条纹函数时，产生的效果令人联想到天然大理石的纹理（图 11.28）。以下是对该过程的逐步视觉化描述：

// 从基本条纹到湍流大理石的视觉演变

阶段 1：基础条纹（无噪声）
  函数：stripe(z) = (1 + sin(π·z/w)) / 2
  视觉效果：完美的平行条纹，等间距，无变化
  → 像人工制造的层压板，完全不自然

阶段 2：单八度湍流扭曲（i=0）
  函数：stripe(z + k·turbulence_0(p))
  视觉效果：条纹开始缓慢弯曲
  → 大的、光滑的波浪状弯曲，但没有细节
  → 像模糊的大理石或水纹纸

阶段 3：两个八度湍流扭曲（i=0,1）
  函数：stripe(z + k·[turbulence_0(p) + turbulence_1(p)])
  视觉效果：大弯曲上叠加中等弯曲
  → 开始看起来有机，但缺少微观质感

阶段 4：四个八度湍流扭曲（i=0,1,2,3）
  函数：stripe(z + k·fBm(p, 4_octaves))
  视觉效果：大弯曲 → 中等弯曲 → 小涟漪 → 微褶皱
  → 现在看起来像真正的大理石：多个尺度的特征叠加
  → 大尺度 = 采石场切割方向，小尺度 = 矿物沉积纹理

阶段 5：加入颜色映射
  函数：color = lerp(stone_color, vein_color, stripe(...))
  视觉效果：条纹的暗区呈现为深色矿脉，
           条纹的亮区呈现为浅色基质
  → 逼真的大理石纹理

课后练习题（含答案）

Color mipmap_sample_trilinear_expanded(Texture mip[], float u, float v, float d) {
    // 第一层：级别 d
    float u_p = u * mip[d].width - 0.5;
    float v_p = v * mip[d].height - 0.5;
    int iu0 = floor(u_p), iv0 = floor(v_p);
    float fu = u_p - iu0, fv = v_p - iv0;
    Color c00 = mip[d][iu0][iv0], c10 = mip[d][iu0+1][iv0];
    Color c01 = mip[d][iu0][iv0+1], c11 = mip[d][iu0+1][iv0+1];
    Color c0 = (1-fu)*(1-fv)*c00 + fu*(1-fv)*c10 + (1-fu)*fv*c01 + fu*fv*c11;

    // 第二层：级别 d+1（同理）
    u_p = u * mip[d+1].width - 0.5;
    v_p = v * mip[d+1].height - 0.5;
    iu0 = floor(u_p); iv0 = floor(v_p);
    fu = u_p - iu0; fv = v_p - iv0;
    c00 = mip[d+1][iu0][iv0]; c10 = mip[d+1][iu0+1][iv0];
    c01 = mip[d+1][iu0][iv0+1]; c11 = mip[d+1][iu0+1][iv0+1];
    Color c1 = (1-fu)*(1-fv)*c00 + fu*(1-fv)*c10 + (1-fu)*fv*c01 + fu*fv*c11;

    // 层间线性混合
    float dd = d - floor(d);
    return (1-dd) * c0 + dd * c1;
}

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