第2章：杂项数学 — 零基础讲义

讲义说明
本讲义基于 Steve Marschner & Peter Shirley 所著《虎书5》第5版第2章（p.13-62）。
本章是全书最"杂"的一章——它涵盖了图形学中用到的各种数学工具，从集合映射到蒙特卡洛积分。
作者建议：先快速浏览，了解各节内容，需要时回头查阅。本讲义旨在帮你建立直观理解，而非追求数学严谨性。
本版插画采用 Guizang 材质插画风格重新绘制。

学习目标

1. 理解集合与映射的数学记号，并能与编程概念对应
2. 用二次方程求根公式解决光线-球体求交等图形学问题
3. 理解三角函数在图形学中的几何含义
4. 掌握向量加减、点积、叉积的几何意义和编程实现
5. 理解"隐式 vs 参数化"两种曲线/曲面表示的核心区别
6. 解释重心坐标是什么，以及为什么它对图形学如此重要
7. 理解期望、方差、蒙特卡洛积分的基本思想

2.1 集合与映射（Sets and Mappings）

2.1.1 为什么图形学需要集合和映射？

它解决什么问题？图形学是"把数学转换成图像"的过程。而数学的"语言"就是集合和映射。如果你不理解这些符号，你就看不懂图形学论文、读不懂图形学代码的注释。集合和映射就是"数学和编程之间的翻译官"。

2.1.2 数学记号 ←→ 编程语言翻译

很多初学者觉得数学记号可怕——说实话，我第一次看到 f : ℝ → ℤ 也觉得"这什么鬼"。但只要把它翻译成编程语言，就豁然开朗了：

关键等价关系：

int f(real x)    ↔    f : ℝ → ℤ
↓↓↓                  ↓↓↓
函数名叫 f            函数名叫 f
接收一个实数          定义域 domain 是 ℝ（实数集）
返回一个整数          目标域 target 是 ℤ（整数集）

逐词翻译：

• Domain（定义域）：函数能接受的所有输入值的集合。 = 编程中的"参数类型"
• Target（目标域）：函数可能输出的值的集合。 = 编程中的"返回值类型"
• Range（值域）：Target 中实际被映射到的子集——不是所有目标域的值都会被用到。

数字例子：

f : ℝ → ℤ,  f(x) = floor(x)
    定义域 = ℝ          若 x = 3.14，则 f(x) = 3
                        值域 = ℤ 的子集（只有整数，不会输出 2.5）
    target 是 ℤ，但 range 只是 ℤ 的一部分

2.1.3 图形学中常用的集合

2.2 解二次方程（Solving Quadratic Equations）

2.2.1 为什么图形学需要这个？

它解决什么问题？在光线追踪中，最常见的一个操作是"判断一条光线是否碰到了某个球体"。光线的路径是一条直线，球体是一个完美的球面。把直线方程代入球面方程，你会得到一个二次方程。解这个二次方程，你就知道了光线什么时候碰到球面。

这不是一个"理论上需要"的东西——写光线追踪器的每一行代码，你都在解二次方程。

2.2.2 标准形式

解（求根公式）：

每个符号的含义：

• A, B, C：已知系数（在光线-球体求交中，它们来自光线方向和球体位置）
• x ：未知数（在光线追踪中，x 就是光线参数 t——光线上距离起点的距离）
• ±：表示有两个可能的解（"正解"和"负解"）

2.2.3 判别式 D = B² - 4AC

判别式决定了方程有多少个实数解：

2.2.4 数值稳定性问题（为什么计算机计算时还会出错？）

直接套求根公式在计算机中可能因为 B² 远大于 4AC 而导致精度丢失。如果 B² 很大，√(B² - 4AC) 和 |B| 几乎相等，那么 -B + √D 或者 -B - √D 中会有一个涉及"两个几乎相等的数相减"，这会导致浮点数精度问题（catastrophic cancellation）。

更鲁棒的方法是：

// 先算判别式
double discriminant = B*B - 4*A*C;
if (discriminant < 0) return 0; // 无解

double sqrtD = sqrt(discriminant);
// 先用"减法版本"算一个根（更稳定）
double x1 = (-B - sqrtD) / (2*A);
double x2 = (-B + sqrtD) / (2*A);

光线 →  ●══════●
         x1    x2
从摄像机出发，先碰到 x1 处（进入球体），后碰到 x2 处（穿出球体）
我们要的是 x1（最小的正数）

2.3 三角学（Trigonometry）

2.3.1 为什么图形学需要三角函数？

它解决什么问题？图形学中到处是"角度"：

• 光线碰到表面时，入射角决定了反射强度
• 相机看场景时，视角决定了能看到什么
• 旋转一个物体时，你需要知道旋转角度对应的正弦和余弦

三角函数就是把"角度"和"坐标"联系起来的桥梁。

2.3.2 单位圆定义（最重要的理解方式）

图2-1：单位圆上的三角函数——任意角θ对应的点（cosθ, sinθ）

单位圆是理解三角函数的金钥匙：画一个半径为1的圆，圆心在原点。从圆心出发，沿着某个角度 θ 画一条射线，这条射线与圆的交点就是 (cos θ, sin θ)。

就是这么简单。cos θ 就是交点的 x 坐标，sin θ 就是交点的 y 坐标。

为什么这个等式总是成立？因为单位圆的方程就是 x² + y² = 1，而 (cos θ, sin θ) 在单位圆上。所以 cos²θ + sin²θ = 1 永远成立。

2.3.3 余弦定理

给定三角形边长 a、b、c，夹角 θ（c的对边），那么：

当 θ = 90°（直角）时，cos θ = 0，公式退化为：

所以勾股定理只是余弦定理的一个特殊情况（90°角的情况）。

2.3.4 图形学中最常用的三角函数用途

2.4 向量（Vectors）

2.4.1 图形学最基本的数据类型

它解决什么问题？在3D世界中，一切都需要位置和方向。物体在哪？它往哪看？光线往哪走？法线朝哪？——这些都是用"向量"表示的。

向量可以看作是"带箭头的线段"，有两个核心属性：

• 方向：箭头指向哪
• 大小（长度）：箭头有多长

最重要的理解：向量只有"方向和大小"，没有"位置"。向量 (1,2,3) 可以从原点出发，也可以从 (100, 200, 300) 出发——它们都是同一个向量。因为方向和大小没变。

2.4.2 基本操作

图2-2：二维坐标系与向量加减——向量的平行四边形法则，向量a与向量b的和等于以它们为邻边的平行四边形的对角线

2.4.3 点积（Dot Product）——图形学最重要的运算

图2-3：点积的几何意义——向量a在向量b上的投影长度为|a|cosθ, a·b = |a||b|cosθ

每个符号的含义：

• a, b：两个向量
• |a|, |b|：它们的长度
• θ：两个向量之间的夹角
• a · b：点积的结果是一个标量（一个数），不是一个向量

几何含义：点积衡量两个向量的"对齐程度"。

为什么点积如此重要？用一个真实代码来理解：

// 1. 漫反射光照——图形学中最基本的着色计算
// 问题的第1行：法线 normal 和光线方向 lightDir 的夹角决定了亮度
float diffuse = dot(normalize(normal), normalize(lightDir));
// diff = cosθ，θ是法线和光线的夹角
// cosθ = 1.0 时（0°角），光线直射表面，最亮
// cosθ = 0.0 时（90°角），光线擦过表面，全暗

// 2. 判断法线朝向
if (diffuse > 0) {
    color = baseColor * diffuse;  // 照亮
} else {
    color = Color(0, 0, 0);       // 阴影
}

// 3. 检测光线是否平行于平面
if (abs(dot(rayDir, planeNormal)) < 1e-6) {
    // 光线平行于平面，无交点
}

2.4.4 叉积（Cross Product）

每个符号的含义：

• n：垂直于 a 和 b 的单位向量（右手定则确定方向）
• |a||b| sin θ：叉积结果的长度 = a 和 b 张成的平行四边形面积
• a × b 的结果是一个向量（不是标量！）——这是和点积最大的区别

几何含义：叉积生成一个同时垂直于两个输入向量的新向量。

// 最常见的叉积应用：从三角形的两条边计算法线
vector3 a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0), c = (0, 0, 0);
// 三角形 abc 的两条边：
vector3 edge1 = b - a;  // (-1, 1, 0)
vector3 edge2 = c - a;  // (-1, 0, 0)
// 法线 = 两条边的叉积
vector3 normal = cross(edge1, edge2);
normal = normalize(normal); // 归一化为单位向量
// 结果应该是 (0, 0, 1) ——垂直于 xy 平面

2.4.5 左右手坐标系

2.5 积分（Integration）

2.5.1 图形学为什么需要积分？

它解决什么问题？渲染的核心就是"计算每个像素接收到的光线总量"。光线是从无数个方向来的——你需要对所有这些方向的贡献"累加起来"。这个"累加"的过程就是积分。

用黑箱思考积分：

图形学家的实用视角：

                  ┌──────────┐
                  │          │
  f(x), [a,b] ───→│ integrate │───→ 数值结果
                  │          │
                  └──────────┘

更直观的理解：
   ┌───┐
  ┌┤   ├┐
 ┌┤   ├┤├┐
 │   │││├┤
┌┤   ├┤├┤├┐
┴┴───┴┴┴┴┴┴──
a             b

积分 = 曲线下方的面积 ≈ 切成很多小条，加起来

2.6 密度函数（Density Functions）

2.6.1 从概率密度到图形学

它解决什么问题？在渲染中，光线在场景中的分布是不均匀的——有些方向来很多光，有些方向来很少。你需要知道光线的"概率密度"来高效地采样。

生活类比：

• 质量密度 = 单位体积内的质量（kg/m³）——拿在手里感觉"沉不沉"
• 概率密度 = 单位长度/面积/体积内的概率——"你更可能在这里找到这个值"

2.7 曲线与曲面（Curves and Surfaces）

2.7.1 两种根本不同的世界观

它解决什么问题？在图形学中，你需要描述物体的"形状"。一个球体、一个平面、一条曲线——怎么用数学描述它们？有两种完全不同的思路，每一种都有自己的优势和劣势。

关键理解：在光线追踪中，光线用参数化表示（p = o + td），物体用隐式表示（f(p) = 0）。两者联立求解 t。这就是为什么你既需要参数化、又需要隐式！

2.8 线性插值（Linear Interpolation）

2.8.1 图形学中最常用的操作

它解决什么问题？你只知道两个值（比如动画第0帧和第24帧的位置），但你需要中间每一帧的值。线性插值就是"在两个值之间匀着走"。

理解公式：

• 当 t = 0 时，结果是 a（还没出发）
• 当 t = 1 时，结果是 b（到达终点）
• 当 t = 0.5 时，结果是 a 和 b 的中点
• t 就像是一个"进度条"——从 0 走到 1

2.9 三角形与重心坐标（Triangles & Barycentric Coordinates）

2.9.1 为什么三角形这么重要？

它解决什么问题？在图形学中，我们需要给三角形内部的每个像素赋一个颜色。但颜色只定义在三角形的三个顶点上——那么中间的像素颜色是什么？重心坐标就是回答这个问题的工具。

三角形是图形学中的基本建模图元。三点确定一个平面，三角形永远是平的，GPU 专门为画三角形优化。

图2-4：重心坐标——三角形内任一点可表示为三个顶点的加权混合，权重 α+β+γ=1

2.9.2 重心坐标的定义

给定三角形三个顶点 a、b、c，三角形内任意一点 p 可以写成：

每个符号的含义：

• α, β, γ：三个顶点的"权重"，称为重心坐标
• α + β + γ = 1：权重之和为1（"百分百"属于这个三角形）
• α, β, γ ≥ 0：权重不能是负的——负权重点在三角形外部

直观理解：

         a
        /\
       /  \
      /    \
     /      \
    b────────c

    靠近a: α 大（离a近 = a的权重大）
    靠近b: β 大
    靠近c: γ 大
    中心点: α = β = γ = 1/3（三个顶点权重相等）
    在ab边上: γ = 0（不靠近c）

2.9.3 判断点是否在三角形内

如果 0 < α < 1 AND 0 < β < 1 AND 0 < γ < 1
    → 点在三角形内部

如果其中一个坐标 = 0，其他两个在 (0,1) 之间
    → 点在边上

如果其中两个坐标 = 0
    → 点在顶点上

2.9.4 重心坐标的神奇性质

同样的 (α, β, γ) 不仅用于混合位置，也用于混合颜色、法线、UV坐标——一切都能插值！

// 三角形的三个顶点各有颜色
color ca = RED;    // 顶点a：红色
color cb = GREEN;  // 顶点b：绿色
color cc = BLUE;   // 顶点c：蓝色

// 三角形内部任一点 p 的颜色
// 注意：α, β, γ 和混合位置时用的完全一样！
color cp = α * ca + β * cb + γ * cc;
// 这就是 Gouraud 着色和纹理映射的基础！

2.10 离散概率（Discrete Probability）

2.10.1 图形学为什么需要概率？

它解决什么问题？很多图形学效果是"随机"的——比如蒙特卡洛渲染需要随机采样光线方向，游戏中的暴击/掉宝是随机事件。不理解概率，就无法理解这些技术。

2.10.2 从骰子开始

掷一个六面骰子，结果 X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}，每面概率 1/6。

在编程中：
    int X = rand_from(1, 6);   // X就是随机变量
    // 运行时才知道X的值，但知道分布

2.10.3 期望值

骰子的期望值：
E[X] = 1·(1/6) + 2·(1/6) + 3·(1/6) + 4·(1/6) + 5·(1/6) + 6·(1/6)
     = 3.5

注意：期望值不一定是可能的结果（骰子不可能掷出3.5）。它是一种"长期趋势"——掷100万次骰子，平均值会非常接近3.5。

2.11 连续概率（Continuous Probability）

2.11.1 和离散概率的关键区别

离散随机变量：取值是"一个点"（如骰子的1点），某特定值的概率 > 0。

连续随机变量：取值在"一个区间"（如[0, 10]的均匀分布），某特定值的概率 = 0！

为什么特定值的概率是0？因为无限多个可能值，每个值的"份额"趋近于0。就像一条线段——你不可能说"恰好在这一个点上的概率是多少"，因为点是无限细的。

2.12 蒙特卡洛积分（Monte Carlo Integration）

2.12.1 图形学的"杀手锏"

它解决什么问题？渲染的核心——计算"到达每个像素的光线总量"——本质上是一个积分。很多积分你无法用手算出精确值（因为场景太复杂）。蒙特卡洛积分就是"算不出精确值，我们就用随机采样来估计它"。

2.12.2 最简单的理解

// 伪代码——这就是蒙特卡洛积分！
float sum = 0.0;
int N = 10000; // 样本数——越多越精确

for (int i = 0; i < N; i++) {
    vec3 v = random_point_on_hemisphere(); // 随机选方向
    sum += f(v);                          // 计算这个方向的光线贡献
}
float average = sum / N;                  // 取平均

这就是蒙特卡洛积分的全部核心：随机采样 → 计算贡献 → 取平均。

2.12.3 从平均值到积分

为什么这个成立？

average(f, domain) = ∫f(x)dx / ∫1·dx
                   = ∫f(x)dx / size(domain)

所以：
∫f(x)dx = average(f, domain) × size(domain)

半球面积 = 2π，所以：
半球上的积分 = average × 2π

2.12.4 重要性采样

它解决什么问题？基础的蒙特卡洛是"在全域均匀采样"——但大多数方向的光线贡献很小，浪费了很多样本。重要性采样就是"在光线贡献大的方向多采样，在贡献小的方向少采样"。

基础蒙特卡洛：在全域均匀采样 → 收敛慢
重要性采样：  按概率密度采样 → 收敛快

关键公式：
∫f(x)dx ≈ (1/N) Σ f(xᵢ) / p(xᵢ)
                                  ↑
                            用概率密度"修正"非均匀采样

全章总结

知识地图

                第2章：杂项数学
                      │
       ┌──────────────┼──────────────┐
       │              │              │
    基础工具         几何工具       数值方法
       │              │              │
   ┌───┼───┐     ┌────┼────┐    ┌───┼───────┐
   │   │   │     │    │    │    │   │       │
 集合  三角  二次 向量  曲线  三角  概率  连续  蒙特卡洛
 映射  函数  方程              重心    概率   积分
                            坐标

各小节一句话总结：