第15章：曲线（Curves）— 零基础讲义

讲义说明
本讲义基于 Steve Marschner & Peter Shirley 所著《虎书5》第5版第15章（p.383-422）。
本章是图形学的"曲线几何"——它告诉你：怎么用参数化曲线描述物体的轮廓和运动路径。
学完本章，你将真正理解 Bézier、B-Spline、Catmull-Rom、NURBS 等核心曲线概念。
本版插画采用 Guizang 材质插画风格重新绘制。

---

学习目标

1. 理解参数化曲线 vs 隐式曲线的区别
2. 掌握连续性条件：C⁰ / C¹ / C² / G¹ / G²
3. 理解插值（Interpolation）vs 逼近（Approximation）
4. 掌握3种插值曲线：Natural Cubic / Hermite / Cardinal（Catmull-Rom）
5. 掌握2种逼近曲线：Bézier / B-Spline
6. 理解de Casteljau算法——Bézier的核心
7. 掌握B-Spline——工业标准曲线

---

15.1 参数化曲线基础

15.1.1 什么是参数化曲线

逐符号拆解：

• u = 参数（通常在0到1之间）。把它想象成"进度条"——0是起点，1是终点
• x(u) = 参数u处的x坐标
• y(u) = 参数u处的y坐标
• z(u) = 参数u处的z坐标（如果是3D曲线）

参数化 vs 隐式曲线：

特性	参数化曲线	隐式曲线
核心问题	给定u→求点P	给定P→判断是否在线上
表示	f(u) = (x(u), y(u))	F(x,y) = 0
采样点	容易（给u值即可）	困难（需要解方程）
求切线	直接求f'(u)	需要隐函数求导
动画/运动	天然支持（u=时间）	不直观
举例	f(u)=(u², u³), u∈[0,1]	x²+y²-R²=0（圆）

15.1.2 复合曲线

现实中的曲线通常不是由单个函数定义的——而是分段定义的不同函数拼接而成。

例子：门的轮廓 = 直线 + 圆弧 + 直线 + 圆弧

分段表示：

f(u) = f₁(2u)          if 0 ≤ u ≤ 0.5    (前半段：直线)
       f₂(2u - 1)       if 0.5 < u ≤ 1    (后半段：圆弧)

每个fᵢ称为一个段（segment或piece），段与段之间的连接叫做结点（knot）。

---

15.2 连续性等级

15.2.1 Cⁿ连续性的定义

对于两条曲线段f₁(u)和f₂(u)，在拼接点u=1（f₁的终点=f₂的起点）：

等级	条件	几何意义	视觉表现
C⁰	f₁(1) = f₂(0)	位置连续	没有缺口
C¹	f'₁(1) = f'₂(0)	切线方向+大小都相同	平滑无折角
C²	f''₁(1) = f''₂(0)	曲率连续	完全平滑
C³	三阶导数连续	曲率变化率连续	几乎察觉不到

关键区分：Cⁿ vs Gⁿ（几何连续）

等级	条件	等同于
C¹	f'₁(1) = f'₂(0)	切线方向+大小都相同（强条件）
G¹	f'₁(1) ∥ f'₂(0)	切线方向相同即可，大小可以不同（弱条件）

15.2.2 图形学中的实际选择

应用场景	所需连续性	原因
动画运动路径	C²	避免突然加速/减速（视觉上更平滑）
3D模型轮廓线	C¹	足够平滑，锐利边缘用折角
字体/标志设计	G¹	视觉效果OK，实现简单
空气动力学形状	C³+	避免湍流产生

---

15.3 曲线属性

15.3.1 局部控制（Locality）

局部控制 = "改1个控制点只影响附近区域，不影响整条曲线"

这是图形学中极为重要的性质。为什么？

• 设计师体验：拖动一个控制点，只想微调曲线的一小段，不想整条曲线都变
• 编辑效率：局部修改不需要重新计算整条曲线
• 协作：多个人可以同时编辑不同区域

曲线类型	局部控制？	移动1个点影响
单条高次插值多项式	✗ 非局部	整条曲线
分段三次Hermite	✓ 局部（但需指定切线）	≤2段
Catmull-Rom样条	✓ 局部	≤4段
Bézier曲线	✗ 分段局部	1段（每段独立）
B-Spline	✓ 局部	k段（k=阶数）

15.3.2 为什么用分段三次曲线？

方案	优势	劣势
单条高次多项式	数学简单	非局部、易振荡（Runge现象）
多段低次多项式	局部控制、灵活、稳定	需要处理段间连续性

为什么是三次（Cubic）？

• 次数太低（线性）→ 只有C⁰，不平滑
• 次数太高 → 振荡、非局部
• 三次 = "最小曲率" + 数值稳定 + 简单 ——黄金平衡点

---

15.4 插值曲线（Interpolating Curves）

15.4.1 插值 vs 逼近

特性	插值（Interpolation）	逼近（Approximation）
是否通过控制点	✓ 精确通过	✗ 只受控制点"吸引"
平滑性	可能振荡	通常更平滑
局部控制	差（高次）或好（分段低次）	好（如B-Spline）
典型应用	动画路径（必须通过关键点）	CAD建模（平滑外形）
例子	Catmull-Rom, Hermite	Bézier, B-Spline

15.4.2 Lagrange插值

给定n个点，存在唯一的n-1次多项式通过所有点。

问题：n较大时，曲线会剧烈振荡——这叫Runge现象。比如用10次多项式通过10个均匀点，两端会剧烈摆动。

---

15.5 三次插值

15.5.1 Hermite三次曲线

4个参数确定一条三次曲线：

• 起点位置 p₀
• 起点切线 f'(0) = m₀
• 终点位置 p₃
• 终点切线 f'(1) = m₁

Hermite形式：

逐项拆解——这四个基函数的含义：

基函数	在t=0的值	在t=1的值	导数t=0	导数t=1	作用
H₀(t)=2t³-3t²+1	1	0	0	0	控制起点位置
H₁(t)=t³-2t²+t	0	0	1	0	控制起点切线
H₂(t)=-2t³+3t²	0	1	0	0	控制终点位置
H₃(t)=t³-t²	0	0	0	1	控制终点切线

15.5.2 自然三次样条（Natural Cubic Spline）

C²连续 + 通过所有点——这是工业级插值曲线的标准。

约束分析：

• n段三次曲线 → 4n个系数需要确定
• 段间C⁰：n-1个约束
• 段间C¹：n-1个约束
• 段间C²：n-1个约束
• 总约束：3(n-1) = 3n-3
• 自由度：4n - 3(n-1) = n+3

自然边界条件：起点二阶导=0，终点二阶导=0 → 还剩余n+1个自由度 = n个点 ✓

15.5.3 Catmull-Rom样条（Cardinal样条）

Catmull-Rom = 游戏行业的默认插值曲线

思想：切线由相邻点的连线自动计算——用户不需要手动指定切线。

逐符号拆解：

• p_{i+1} - p_{i-1} = 前一个点到后一个点的向量——穿过当前点的"趋势"
• (1-tension)/2 = tension=0时，切线大小=相邻点距离的一半（标准Catmull-Rom）
• tension = 曲线的"紧绷度"参数（0=标准，越大越松，越小越紧）

为什么Catmull-Rom这么流行？

• ✓ C¹连续（足够平滑）
• ✓ 局部控制（移动1个点影响≤4段）
• ✓ 不需要指定切线（自动计算）
• ✓ 计算简单

---

15.6 逼近曲线——Bézier

15.6.1 Bézier曲线的核心性质

性质	含义	为什么重要
端点插值	起点=第一个控制点，终点=最后一个	容易控制曲线的起点和终点
切线方向	起点切线 = p₁-p₀，终点切线 = pₙ-p_{n₋₁}	容易控制段间连续性（共享切向量）
凸包性质	整条曲线在控制点的凸包内	碰撞检测、裁剪加速
仿射不变性	变换控制点 = 变换曲线（先变换后求值=先求值后变换）	物体变换时曲线自动跟着变
变化减小性质	直线与曲线的交点 ≤ 直线与控制多边形的交点	曲线的波动不会比控制多边形更剧烈

15.6.2 Bernstein基函数

逐符号拆解：

• C(n,i) = 组合数 "n选i" = n!/(i!(n-i)!)
• uⁱ = 参数u的i次方
• (1-u)^{n-i} = 互补参数的n-i次方
• B_{i,n}(u) = 第i个控制点在参数u处的权重

举例：三次Bézier（n=3）的4个基函数：

i	B_{i,3}(u)	在u=0的值	在u=1的值
0	(1-u)³	1	0
1	3u(1-u)²	0	0
2	3u²(1-u)	0	0
3	u³	0	1

15.6.3 de Casteljau算法

核心思想——几何直觉：

1. 在每对相邻控制点的连线上取比例为u的点
2. 得到n个新点（原n+1个点变成n个点）
3. 重复步骤1-2，直到只剩1个点
4. 这个最后的点就是f(u)

# de Casteljau算法——计算Bézier曲线上的点
def decasteljau(control_points, u):
    pts = control_points.copy()       # 复制控制点（不修改原数据）
    while len(pts) > 1:               # 直到只剩一个点（结果点）
        new_pts = []                   # 本轮插值生成的点
        for i in range(len(pts) - 1):  # 对每对相邻点
            x = (1-u) * pts[i].x + u * pts[i+1].x  # 线性插值x
            y = (1-u) * pts[i].y + u * pts[i+1].y  # 线性插值y
            new_pts.append((x, y))     # 保存新点
        pts = new_pts                  # 下一轮用新点继续
    return pts[0]                     # 返回最终曲线上的点

时间复杂度：O(n²) —— n+1个控制点，每轮减少1个，共n轮，每轮做O(n)次操作。

15.6.4 分段Bézier曲线的连续性

两段Bézier曲线（控制点分别为p₀,p₁,p₂,p₃和q₀,q₁,q₂,q₃）拼接：

• C⁰：p₃ = q₀（共享端点）
• C¹：p₃ - p₂ = q₁ - q₀（切线方向+大小相同）即 p₃ - p₂ = q₁ - q₀
• G¹：p₃ - p₂ ∥ q₁ - q₀（切线方向相同即可）

---

15.7 逼近曲线——B-Spline

15.7.1 B-Spline的核心特性

性质	Bézier	B-Spline
局部控制	✗ 移动1个点影响整条曲线	✓ 移动1个点只影响k段
连续性	需要手动保证（共享端点+切线）	自动C^{k-2}
凸包性质	✓ 整体凸包	✓ 局部凸包（每个段在相应控制点的凸包内）
变化减小	✓	✓
通过控制点	首尾点通过	一般不通过

15.7.2 B-Spline的阶数k

k（阶）	段内次数	连续性	应用
2	1（线性）	C⁰	折线/多边形
3	2（二次）	C¹	简单平滑曲线
4	3（三次）	C²	工业标准（最常用）
5	4	C³	高要求应用

15.7.3 Cox-de Boor递归公式

B-Spline基函数的定义：

15.7.4 均匀B-Spline vs 非均匀B-Spline（NURBS）

类型	结点分布	优势	劣势
均匀B-Spline	所有结点等距（0,1,2,3,...）	简单、计算快	不能控制局部细节密度
非均匀B-Spline	结点可不等距（0,0,0,1,2,3,3,3）	灵活、可制造尖角	实现复杂
NURBS	非均匀 + 带权	可精确表示圆/圆锥	更复杂

结点塞紧（Knot Insertion）制造尖角：

在B-Spline中，如果多个结点在同一个位置（重复结点），曲线在该点的连续性会降低。3次重复 → C⁰（产生尖角）。这是B-Spline制造尖角的标准方法。

---

15.8 3D曲线与总结

15.8.1 3D曲线

核心思想：所有2D曲线理论直接推广到3D——只是控制点从2D向量变成3D向量。

应用场景：

• 3D动画路径：相机沿曲线运动（如过山车视角）
• 3D模型轮廓：头发、布料、绳索的曲线表示
• 3D网格编辑：用曲线驱动网格变形

15.8.2 术语对照表

英文	中文	一句话
Parametric Curve	参数化曲线	f(u) = (x(u), y(u))
Continuity Cⁿ	Cⁿ连续性	n阶导数连续
Interpolation	插值	曲线通过控制点
Approximation	逼近	曲线靠近控制点
Hermite Curve	Hermite曲线	指定位置+切线
Catmull-Rom	Catmull-Rom样条	自动切线插值，游戏首选
Bézier Curve	Bézier曲线	逼近型，设计首选
De Casteljau	de Casteljau算法	Bézier的核心算法
B-Spline	B样条	局部控制，CAD首选
NURBS	非均匀有理B样条	CAD工业标准
Knot	结点	曲线段的拼接点
Convex Hull	凸包	控制点的最小凸多边形

15.8.3 核心选择指南

需求	推荐的曲线	原因
通过所有关键点 + 简单	Catmull-Rom	自动切线，C¹，局部
交互式设计（PS/AI）	Bézier	直观的"手柄"控制
CAD/CAM精确建模	B-Spline / NURBS	C²，局部控制，任意连续性
动画曲线编辑	Hermite + TCB	Maya/Blender切线编辑器
字体/矢量图形	分段Bézier	PostScript/TrueType标准

15.8.4 关键公式速查

名称	公式
参数化曲线	f(u) = (x(u), y(u), z(u))
Hermite三次	f(t) = H₀(t)p₀ + H₁(t)m₀ + H₂(t)p₃ + H₃(t)m₁
Catmull-Rom切线	mᵢ = (1-t)/2 · (p_{i+1} - p_{i-1})
Bernstein基	B_{i,n}(u) = C(n,i) · uⁱ · (1-u)^{n-i}
Bézier曲线	f(u) = Σ pᵢ · B_{i,n}(u)
de Casteljau	递归线性插值直到1个点
B-Spline	f(t) = Σ pᵢ · b_{i,k}(t)
Cox-de Boor	b_{i,k}(t) = 加权组合b_{i,k-1}和b_{i+1,k-1}

15.8.5 数值例子：de Casteljau逐步计算

假设有4个控制点：p₀=(0,0), p₁=(2,4), p₂=(4,0), p₃=(6,2)，计算u=0.5处的曲线点：

第1轮（4个点→3个点）：

q₀ = (1-0.5)·p₀ + 0.5·p₁ = 0.5·(0,0) + 0.5·(2,4) = (1, 2)
q₁ = (1-0.5)·p₁ + 0.5·p₂ = 0.5·(2,4) + 0.5·(4,0) = (3, 2)
q₂ = (1-0.5)·p₂ + 0.5·p₃ = 0.5·(4,0) + 0.5·(6,2) = (5, 1)

第2轮（3个点→2个点）：

r₀ = (1-0.5)·q₀ + 0.5·q₁ = 0.5·(1,2) + 0.5·(3,2) = (2, 2)
r₁ = (1-0.5)·q₁ + 0.5·q₂ = 0.5·(3,2) + 0.5·(5,1) = (4, 1.5)

第3轮（2个点→1个点——结果）：

f(0.5) = (1-0.5)·r₀ + 0.5·r₁ = 0.5·(2,2) + 0.5·(4,1.5) = (3, 1.75)

所以Bézier曲线在u=0.5处的点是(3, 1.75)。验证Bernstein公式：

f(0.5) = p₀·(1-0.5)³ + p₁·3·0.5·(0.5)² + p₂·3·(0.5)²·0.5 + p₃·(0.5)³
      = (0,0)·0.125 + (2,4)·0.375 + (4,0)·0.375 + (6,2)·0.125
      = (0+0.75+1.5+0.75, 0+1.5+0+0.25)
      = (3, 1.75) ✓

15.8.6 曲线求值的数值稳定性

直接计算Bernstein多项式 vs de Casteljau算法：

比较项	直接Bernstein	de Casteljau
操作类型	高次幂（u⁵, u⁶,...）	仅线性插值（乘法+加法）
高u时的精度	u接近1时uⁿ会丢失精度	始终稳定（只做(1-u)和u的组合）
对控制点变化的敏感度	一次改变需要重新计算所有基函数	自然适应
时间复杂度	O(n)	O(n²)
数值稳定性	一般（高次不稳定）	优异

15.8.7 从曲线到曲面

所有曲线概念都可以推广到曲面：

曲线概念	曲面推广
参数化曲线 f(u)	参数化曲面 f(u,v)
曲线段	曲面片（Patch）
Bézier曲线	Bézier曲面（张量积）
de Casteljau（1D）	de Casteljau（2D：先u方向再v方向）
B-Spline曲线	B-Spline曲面（NURBS曲面）
Catmull-Rom曲线	Catmull-Clark细分曲面

张量积曲面公式：

这是一个二维的"网格"控制点加上两个方向（u和v）的Bézier基函数。

15.8.8 常见问题（FAQ）

Q1：C¹和G¹到底有什么区别——什么时候用哪个？

A：C¹要求切线方向+大小都相同。G¹只要求方向相同。如果你在做动画路径（物体以恒定速度运动），需要C¹以确保速度连续。如果你做静态建模（如字体轮廓），G¹就够了——人眼看不出来。

Q2：什么是"Runge现象"？

A：用高次多项式通过一组均匀分布的点时，曲线两端会剧烈振荡。例如用10次多项式通过10个点——曲线在第一个点和最后一个点附近会"甩出去"再绕回来。这就是图形学避免高次插值的原因。

Q3：Catmull-Rom和B-Spline有什么区别？

A：Catmull-Rom是插值曲线（通过所有点），B-Spline是逼近曲线（靠近但不通过）。Catmull-Rom更适合动画路径（必须经过关键点），B-Spline更适合CAD建模（平滑外形）。Catmull-Rom是C¹，三次B-Spline是C²。

Q4：Bézier的"凸包性质"有什么用？

A：凸包性质保证了曲线不会"跑出"控制点围成的区域。这在渲染中用于裁剪——如果一条Bézier曲线的整个凸包都不在屏幕上，就不用画它了。这是加速矢量图形渲染的关键。

Q5：NURBS中的"R"（Rational）是什么意思？

A：Rational = 有理数 = 每个控制点带一个权重（w）。通过调整权重，可以精确表示圆、椭圆、圆锥曲线——而普通的B-Spline只能近似。这就是为什么CAD系统都用NURBS——因为需要精确的圆。

Q6：为什么三次曲线（Cubic）这么特殊？

A：三次曲线是"最小曲率+最大可控性"的平衡点。线性（一次）太平滑，二次曲率恒定（抛物线），三次可以有变化的曲率。同时三次曲线的计算非常简单（4个系数）。在图形学中，三次Bézier和三次B-Spline是最常用的。

15.8.9 工程实战参考

领域	曲线类型	工具/库
字体渲染	二次/三次 Bézier	FreeType, HarfBuzz
矢量图形	三次 Bézier	Skia, Cairo, NanoVG
3D建模	NURBS	OpenCASCADE, Rhino
游戏引擎	Catmull-Rom	Unity AnimationCurve, UE4 Spline Component
CAD/CAM	NURBS	STEP, IGES 工业标准
数据可视化	Catmull-Rom / 三次B-Spline	D3.js, Chart.js

15.8.11 曲线在工程软件中的具体实现

Adobe Illustrator中的钢笔工具：

// 三次Bézier在AI中的数据结构
struct BezierSegment {
    Point anchor_in;    // 入点（前一段的终点）
    Point handle_in;    // 入点手柄方向
    Point handle_out;   // 出点手柄方向
    Point anchor_out;   // 出点
};

// G¹连续条件：handle_out和下一个handle_in在一条直线上
// C¹连续条件：handle_out和下一个handle_in方向相同、长度相同
// AI允许用户独立拉长手柄长度（改变曲率，保持G¹）

Unity中的AnimationCurve：

// Unity使用Catmull-Rom/Cubic Bézier作为动画曲线
AnimationCurve curve = new AnimationCurve();
curve.AddKey(0.0f, 0.0f);    // 时间0，值0
curve.AddKey(1.0f, 1.0f);    // 时间1，值1
curve.AddKey(2.0f, 0.0f);    // 时间2，值0

// 在t=1.5秒时求值（自动Catmull-Rom插值）
float value = curve.Evaluate(1.5f);

CSS中的cubic-bezier()：

/* CSS动画中的三次Bézier缓动函数 */
/* cubic-bezier(x1, y1, x2, y2) 其中(x1,y1)和(x2,y2)是两个手柄 */
transition: transform 0.3s cubic-bezier(0.42, 0.0, 0.58, 1.0);  /* ease-in-out */
transition: opacity 0.5s cubic-bezier(0.25, 0.1, 0.25, 1.0);   /* ease */

15.8.12 曲线学习的"路线图"

学习阶段	要掌握的内容	练习项目
入门	参数化曲线概念、C⁰/C¹/C²区别	用纸笔画三种连续曲线
基础	Catmull-Rom实现、Bézier实现	用Python/JS实现交互式曲线编辑器
进阶	de Casteljau算法、B-Spline原理	实现de Casteljau细分、B-Spline求值
高级	NURBS、Cox-de Boor递归	实现NURBS曲线编辑器
专业	曲面（Bézier Patch / NURBS Surface）	实现Bézier曲面求值（张量积）

15.8.13 全章总结