第13章：采样 — 零基础讲义

关键技巧：乘一个 q(x)/q(x)——"桥"

第一步：乘上 q/q

虽然看起来无意义，但这是整个方法的核心：

I = ∫ f(x) dx = ∫ f(x) × 1 dx = ∫ f(x) × (q(x)/q(x)) dx

没错，这只是乘以 1。但把分子分母分开看：

I = ∫ [f(x) / q(x)] × q(x) dx

第二步：把右边看成期望

现在，q(x) 是一个概率密度函数（PDF）。那么：

I = ∫ [f(x) / q(x)] × q(x) dx = E_q[ f(X) / q(X) ]

这里的期望 E_q 是在分布 q(x) 下计算的。

第三步：用样本近似期望

I ≈ (1/N) · Σᵢ f(xᵢ) / q(xᵢ)    其中 xᵢ ~ q(x)

公式三连（完整推导）：

I = ∫ f(x) dx
  = ∫ f(x) · [q(x)/q(x)] dx              # 第一步：乘 q/q
  = ∫ [f(x)/q(x)] · q(x) dx              # 第二步：重组
  = E_q[ f(X)/q(X) ]                      # 第三步：这是期望
  ≈ (1/N) · Σᵢ f(xᵢ)/q(xᵢ)               # 第四步：样本近似

13.4.3 重要性采样 vs 普通 MC

实际效果：一个好的重要性采样分布可以让方差下降 10-100 倍。

13.4.4 应用

环境贴图采样：

• f(x) = 环境光在方向 x 的强度
• q(x) ∝ 环境光强度 × cosθ
• 结果：高光区域被多采样，暗区域少采样

BRDF 采样：

• f(x) = BRDF(入射方向 x)
• q(x) ∝ BRDF(x) × cosθ
• 结果：镜面反射方向被多采样

直接光采样：

• f(x) = 光源在 x 方向的贡献
• q(x) ∝ 光源强度
• 结果：亮光源被多采样

13.5 三种采样方法

13.5.1 函数反演（Function Inversion）

最直接的采样方法——找 CDF 的反函数

3 步算法：

1. 对 PDF p(x) 求积分得到 CDF：P(x) = ∫_{-∞}^{x} p(t) dt
2. 求 CDF 的反函数：P⁻¹
3. α = P⁻¹(ξ)，其中 ξ ~ U[0,1]

例子：p(x) = 3x²/2 on [-1, 1]

# 第 1 步：求 CDF
P(x) = ∫_{-1}^{x} (3t²/2) dt = (x³ + 1)/2

# 第 2 步：求反函数
P⁻¹(ξ) = ∛(2ξ - 1)

# 第 3 步：生成样本
α = ∛(2ξ - 1)

13.5.2 拒绝采样（Rejection）

简单但低效——在包围盒里随机采，不在目标区域就拒绝

def rejection_sample(pdf, bound_box):
    while True:
        x = uniform(bound_box.min, bound_box.max)
        y = uniform(0, bound_box.max_density)
        if y < pdf(x):      # 在接受区域内？
            return x        # 接受
        # 否则拒绝，重来

优点：实现极其简单。

缺点：

• 效率低（很多点被拒）
• 不能和分层采样结合使用

💡 实战：拒绝采样几乎只用于调试和原型，从不用于最终产品。

13.5.3 Metropolis 算法——"山上散步"类比

Metropolis = "一个盲人在山上散步，每次迈一小步，倾向于往高处走"

图13-2：俄罗斯轮盘赌——决策树展示光线追踪的随机终止策略，与 Metropolis 算法的"概率转移"思想一脉相承

直觉：

想象你在一座山上（山的形状 = 目标分布 p(x)）。你是一个盲人，看不见整座山，只能用拐杖感受脚下的高度。

你想"均匀地"访问整座山——高度越高的地方，访问次数越多（因为 p(x) 越大）。

散步规则：

1. 你现在站在位置 x（当前高度 = p(x)）
2. 随机迈一小步到候选位置 y（附近随机走）
3. 比较两个高度：
   • 如果 y 比 x 高（p(y) > p(x)）：接受——走到 y
   • 如果 y 比 x 矮（p(y) < p(x)）：以概率 p(y)/p(x) 接受——否则留在 x
4. 记录当前位置作为样本

关键：即使你在"山顶"（p(x) 最大），你依然可以往下走——只是概率小一些。这保证了你不会卡在局部极值。

为什么这个算法对图形学重要？

传统 MC 需要知道 PDF 的确切形式（才能做反演或重要性采样）。但在路径追踪中，光路分布极其复杂——没有解析的 PDF。

Metropolis 不需要知道 PDF 的解析形式，只需要能计算任意两点之间的 PDF 比值。

算法伪代码：

def metropolis(target_pdf, step_size, N):
    x = 初始位置
    samples = []
    
    for i in range(N):
        y = x + normal_random(0, step_size)  # 迈一小步
        a = target_pdf(y) / target_pdf(x)     # 高度比
        if random() < min(1, a):              # 以概率 a 接受
            x = y
        samples.append(x)                     # 记录样本
    
    return samples

应用——MLT（Metropolis Light Transport）：

• Veach & Guibas 1997 引入——离线渲染的里程碑
• MLT 将 Metropolis 应用到光路空间
• 对"难以采样"的光路（焦散、SDS 路径）特别有效

缺点：

• 样本之间相关（相邻样本不是独立的）
• 需要 burn-in（初始样本不可用，需要丢弃前几千个）
• 收敛性分析困难

13.6 分层采样（Stratified Sampling）

分层采样 = "把空间切成小格子，每格采一个样本"

图13-3：分层采样 vs 纯随机——纯随机会出现"聚团"（大片空白区域），分层采样保证均匀覆盖

def stratified_2d(n):
    """在一个正方形里采 n² 个分层样本"""
    samples = []
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            u = (i + random()) / n    # 每个格子内随机偏移
            v = (j + random()) / n
            samples.append((u, v))
    return samples

为什么比纯随机好？

纯随机可能出现"聚团"——几个样本聚在一起，导致大片空白区域无样本。分层采样保证了均匀覆盖。

方差对比：

实际应用：

• 每个像素使用 4×4 分层采样 → 16 条光线
• 保证像素内覆盖均匀 → 减少噪点
• 现代渲染器几乎必须使用分层采样

13.7 球面/圆盘上的均匀采样

13.7.1 圆盘均匀采样

def sample_disk(R):
    ξ1 = random()
    ξ2 = random()
    φ = 2 · π · ξ1         # 角度均匀
    r = R · sqrt(ξ2)        # 半径用 sqrt 补偿面积
    return (r · cos(φ), r · sin(φ))

13.7.2 球面均匀采样

def sample_sphere():
    ξ1 = random()
    ξ2 = random()
    cos_theta = 1 - 2 · ξ1    # θ = acos(1 - 2ξ)
    phi = 2 · π · ξ2
    return (cos_theta, phi)

13.7.3 半球（cos^n 权重）

def sample_cos_hemisphere(n):
    ξ1 = random()
    ξ2 = random()
    cos_theta = (1 - ξ1) ** (1 / (n + 1))
    phi = 2 · π · ξ2
    return (cos_theta, phi)

13.8 实际应用

13.8.1 光线追踪降噪

• 每个像素采 1 条光线 → 噪声大
• 采 4-16 条 → 好很多
• 再加上分层采样 + 重要性采样 → 效果更好

主流降噪方案：

13.8.2 实时光线追踪

NVIDIA RTX / DirectX Raytracing：

• BVH 加速（第12章）
• 重要性采样 BRDF
• 分层采样 per pixel
• AI 降噪

AMD FidelityFX：

• 类似方案
• 开源降噪

13.8.3 重要性采样的实战案例

环境贴图采样：

假设你的环境贴图大部分是黑（夜晚场景），但月亮在正上方。普通 MC 会在大部分黑区浪费样本。重要性采样：

// 1. 算出每个像素的亮度作为 q(x)
// 2. 按 q(x) 的 CDF 采样
// 结果：月亮附近被多采样

光源采样：

场景里有 100 个灯，99 个暗的，1 个亮的。直接均匀采样方向会浪费样本在暗灯上。重要性采样：

• 先按灯的强度概率选一个灯
• 再在该灯上均匀采样
• 结果：亮灯被多采样

全章总结

讲义核心洞察：采样 = "用概率的方法解决积分问题"——

• 为什么要采样：像素颜色 = 各方向光的积分，没有解析解
• 测度：面积尺/角度尺/长度尺——选择视角
• 大数定律：硬币投掷——N 越大，越准确
• Monte Carlo 算 π：随机点统计圆的面积
• 重要性采样：三步推导——乘 q/q → 期望 → 样本近似
• Metropolis："山上散步"——按高度概率走动
• 分层采样：切成小格，方差 O(1/N³)

一句话总结：采样 = 概率视角的积分（大数定律 + MC 算 π）+ 重要性采样（三步推导）+ 三种采样方法（反演/拒绝/Metropolis）+ 分层采样（O(1/N³) 方差）+ 球面/圆盘采样（cos^n 半球）。

下一步：第 14 章将讲解物理渲染（PBR）——辐射度量学、BRDF、传输方程、Path Tracing。这是"真实感渲染"的最终章。