第7章：变换矩阵 — 零基础讲义

讲义说明
本讲义基于 Steve Marschner & Peter Shirley 所著《虎书5》第5版第7章（p.145-166）。
变换矩阵是计算机图形学的"语法"——它是描述物体如何移动、旋转、缩放的统一数学语言。不理解变换矩阵，就无法理解观察、投影、裁剪等后续所有内容。
本版插画采用 Guizang 材质插画风格重新绘制。

7.1 什么是变换矩阵
7.2 2D线性变换基础
7.3 旋转矩阵的五步推导（极坐标法）
7.4 齐次坐标与平移
7.5 坐标变换：从局部到世界到相机
7.6 三维变换矩阵的完整推导
7.7 法线变换——初学者最容易犯的错误
7.8 窗口变换（完整变换管线）
7.9 矩阵组合与顺序
7.10 变换矩阵总结

学习目标

掌握2D和3D的线性变换矩阵
理解齐次坐标的作用——为什么需要它
掌握旋转矩阵的五步推导过程——核心重点
理解法线变换与顶点变换的区别——极易出错
掌握从模型到屏幕的完整变换管线
学会通过矩阵组合实现任意变换

7.1 什么是变换矩阵？

7.1.1 核心概念

变换矩阵 = 用乘法统一描述几何变换的数学工具

基本思想极其直观：

v' = M × v

把变换前的坐标向量 v 乘以变换矩阵 M，得到变换后的坐标 v'。就这样——所有的几何变换（移动、旋转、缩放、扭曲）都可以用矩阵乘法来描述。

变换类型	矩阵形式	例子
缩放	对角矩阵	diag(sx, sy, sz)
旋转	正交矩阵	绕x/y/z轴旋转θ角
平移	齐次矩阵	第四列包含位移量
剪切	非对角元素	改变形状但不改变面积

7.2 2D线性变换基础

7.2.1 2D缩放

S(sx, sy) = [sx 0; 0 sy]

// 缩放变换应用
[x']   [sx  0 ] [x]
[y'] = [0  sy ] [y]

x' = sx · x
y' = sy · y

符号	含义	例子
sx	x方向缩放因子	sx=0.5 → 水平缩小一半
sy	y方向缩放因子	sy=2 → 垂直放大一倍
均匀缩放	sx = sy	S(2,2) → 整体放大2倍，保持比例
非均匀缩放	sx ≠ sy	S(2,1) → 水平拉长，垂直不变

// 数值例子：将矩形缩小一半
S(0.5, 0.5) = [0.5  0]
              [0   0.5]

点 (2, 4) → (2×0.5, 4×0.5) = (1, 2)  // 坐标减半

图7-1：缩放与错切——单位正方形经过缩放（拉伸）和错切（倾斜）后的变化

7.2.2 2D旋转（标准公式）

R(θ) = [cosθ -sinθ; sinθ cosθ]

// 绕原点逆时针旋转θ角
x' = x·cosθ - y·sinθ
y' = x·sinθ + y·cosθ

这个公式看起来简单，但它不是凭空产生的。下一节我们完整推导它。

关键记忆：cosθ在对角线，sinθ在反对角线带符号。第一行是cosθ和-sinθ，第二行是sinθ和cosθ。

7.3 旋转矩阵的五步推导（极坐标法）

这是本章最重要的内容。我们从零开始，逐步推导出旋转矩阵。这不是一个要死记硬背的公式——理解推导过程后，你可以随时"重新发明"它。

图7-2：旋转矩阵的极坐标推导——从(x,y) = (r·cosα, r·sinα)出发，旋转θ后坐标由三角恒等式导出

第一步：用极坐标表示点

任意向量 (x, y) 可以用极坐标表示：

x = r·cosα, y = r·sinα

    y
    ↑
    │     / (x, y)
    │    /
    │   /    r = √(x²+y²)  ← 向量长度
    │  /     α = atan2(y, x) ← 与x轴夹角
    │ /
    │/α
    └────────────→ x

解释：向量 (x, y) 就像从原点射出的箭，长度 r，与x轴夹角 α。

第二步：写出旋转后的坐标

将向量逆时针旋转 θ 角度后，新向量与x轴的夹角变为 α + θ：

x' = r·cos(α + θ), y' = r·sin(α + θ)

第三步：三角恒等式展开

使用和角公式（三角恒等的核心）：

cos(α + θ) = cosα·cosθ - sinα·sinθ

sin(α + θ) = sinα·cosθ + cosα·sinθ

代入：

x' = r·(cosα·cosθ - sinα·sinθ)
   = r·cosα·cosθ - r·sinα·sinθ

y' = r·(sinα·cosθ + cosα·sinθ)
   = r·sinα·cosθ + r·cosα·sinθ

第四步：代回原始坐标

因为 x = r·cosα, y = r·sinα，所以：

x' = x·cosθ - y·sinθ

y' = x·sinθ + y·cosθ

第五步：写成矩阵形式

R(θ) = [cosθ -sinθ; sinθ cosθ]

// 验证矩阵形式
[x']   [cosθ  -sinθ] [x]
[y'] = [sinθ   cosθ] [y]

x' = x·cosθ + y·(-sinθ) = x·cosθ - y·sinθ  ✓
y' = x·sinθ + y·cosθ                       ✓

验证：旋转90°

θ = 90° ⇒ cos90°=0, sin90°=1：

R(90°) = [0  -1]
         [1   0]

点 (1, 0) → (0·1 + (-1)·0, 1·1 + 0·0) = (0, 1)  ✓  // x轴→y轴
点 (0, 1) → (0·0 + (-1)·1, 1·0 + 0·1) = (-1, 0) ✓  // y轴→-x轴

验证通过！(1,0) 逆时针转90° 到 (0,1)，再转到 (-1,0)——完美符合直觉。

🤔 想一想：为什么顺时针旋转的矩阵是逆时针的转置？

顺时针转θ = 逆时针转(-θ)，而 cos(-θ)=cosθ, sin(-θ)=-sinθ。所以 R_cw(θ) = [cosθ sinθ; -sinθ cosθ] = R_ccw(θ)ᵀ。对于旋转矩阵，转置 = 逆矩阵——这就是为什么顺时针旋转是逆时针旋转的逆！

3D旋转矩阵

从2D扩展到3D：每个基本旋转保持一个轴不变，在其他两个轴上做2D旋转。

旋转轴	矩阵	不变量
绕x轴	[1 0 0; 0 cosθ -sinθ; 0 sinθ cosθ]	x坐标不变
绕y轴	[cosθ 0 sinθ; 0 1 0; -sinθ 0 cosθ]	y坐标不变
绕z轴	[cosθ -sinθ 0; sinθ cosθ 0; 0 0 1]	z坐标不变

规律记忆：保持哪个轴，那行/列就是单位向量。其余4个元素就是2D旋转矩阵。注意绕y轴时sinθ符号是反的（因为右手坐标系中y轴方向特殊）。

7.4 齐次坐标与平移

7.4.1 线性变换的致命局限

2×2矩阵（以及3×3矩阵）只能表示线性变换——旋转、缩放、剪切。它不能表示平移：

没办法用2×2矩阵写出：
x' = x + tx
y' = y + ty

因为这是加法（+tx），不是乘法（×某系数）。
线性变换要求输出是输入的线性组合（只有乘法，没有加法）。

平移不是线性变换！它需要加法，而矩阵只能做乘法。解决方法是"升维"——引入齐次坐标。

7.4.2 齐次坐标的定义

齐次坐标的核心思想：给向量增加一个维度 w，把平移"伪装"成矩阵乘法。

图7-3：齐次坐标——点（w=1）可被平移，向量（w=0）不受平移影响

类型	2D表示	3D表示	原因
点	(x, y, 1)	(x, y, z, 1)	w=1表示这是一个位置，平移时应移动
向量	(x, y, 0)	(x, y, z, 0)	w=0表示这是一个方向，平移不影响方向

为什么向量w=0？因为平移一个向量不应该改变它：

[1 0 tx] [x]   [x + tx·0]   [x]
[0 1 ty] [y] = [y + ty·0] = [y]   ← 向量不变！
[0 0  1] [0]   [   1    ]   [0]

注意 w 分量乘以平移量 tx 和 ty 后，因为 w=0，平移贡献被"清零"——向量不受平移影响。

7.4.3 齐次形式的变换矩阵

2D平移矩阵：

T(tx, ty) = [1 0 tx; 0 1 ty; 0 0 1]

3D平移矩阵：

T(tx, ty, tz) = [1 0 0 tx; 0 1 0 ty; 0 0 1 tz; 0 0 0 1]

3D缩放矩阵（齐次形式）：

S(sx, sy, sz) = [sx 0 0 0; 0 sy 0 0; 0 0 sz 0; 0 0 0 1]

// 数值例子：平移(5, 3) 应用到点 (2, 1)
[1 0 5] [2]   [2 + 5]   [7]
[0 1 3] [1] = [1 + 3] = [4]
[0 0 1] [1]   [   1  ]   [1]  ← w=1保持不变

7.4.4 仿射变换的性质

所有仿射变换（线性变换+平移）都可以用齐次矩阵表示：

M_affine = [A t; 0 1]

其中A是3×3线性部分，t是3×1平移向量。

性质	说明	是否保持
保直性	直线变换后仍是直线	是
保平行性	平行线变换后仍是平行线	是
保距离	两点之间距离不变	否（缩放会改变距离）
保角度	向量间夹角不变	否（缩放和剪切会改变角度）

7.5 坐标变换：从局部到世界到相机

7.5.1 从局部到世界（模型变换）

物体在自己的局部坐标系中定义，通过模型矩阵放入世界坐标系：

p_world = M_model · p_local

// 例子：立方体局部坐标中的顶点 (1,1,1)
// 变换到世界坐标（缩放2倍 + 平移到(5,0,0)）

M_model = [2  0  0 5]    p_local = [1]
          [0  2  0 0]              [1]
          [0  0  2 0]              [1]
          [0  0  0 1]              [1]

p_world = [2×1 + 5]   [7]
          [2×1 + 0] = [2]
          [2×1 + 0]   [2]
          [   1    ]   [1]

7.5.2 从世界到相机（视图变换）

视图变换将场景从世界坐标转换到以相机为原点的坐标：

p_camera = M_view · p_world

// 相机定义
camera_pos = (ex, ey, ez)      // 相机在世界的坐标
target     = (tx, ty, tz)      // 相机注视的位置
up         = (ux, uy, uz)      // 相机的"头顶"方向

// 构建相机坐标系基向量
w = normalize(camera_pos - target)          // -视线方向（z轴）
u = normalize(cross(up, w))                 // 右方向（x轴）
v = cross(w, u)                             // 上方向（y轴）

// 视图矩阵 = 旋转到相机坐标系 + 平移到原点
M_view = [ux  uy  uz  -dot(u, camera_pos)]
         [vx  vy  vz  -dot(v, camera_pos)]
         [wx  wy  wz  -dot(w, camera_pos)]
         [ 0   0   0       1           ]

7.6 三维变换矩阵的完整推导

7.6.1 点绕任意轴旋转（Rodrigues公式）

不是所有旋转都绕坐标轴。绕任意单位向量 a 旋转 θ 角的公式称为Rodrigues旋转公式：

v_rot = v·cosθ + (a×v)·sinθ + a·(a·v)·(1-cosθ)

这个公式由三部分组成：

v·cosθ：v在垂直于旋转轴方向的分量，旋转后的"直接投影"
(a×v)·sinθ：垂直方向旋转产生的分量
a·(a·v)·(1-cosθ)：v沿旋转轴的分量不变，这里补充了变化的部分

矩阵形式：

R(a, θ) = I·cosθ + [a]ₓ·sinθ + a·aᵀ·(1-cosθ)

// 其中 [a]ₓ 是a的叉积矩阵（反对称矩阵）
[a]ₓ = [  0  -az   ay]
       [  az   0  -ax]
       [ -ay   ax    0]

7.6.2 旋转矩阵的性质验证

性质	公式	含义
正交性	Rᵀ·R = I	旋转矩阵的逆 = 转置
行列式	det(R) = +1	旋转是保定向的（不包含镜像）
长度保持	\|\|Rv\|\| = \|\|v\|\|	旋转不改变向量长度
角度保持	(Ru)·(Rv) = u·v	旋转保持向量间夹角不变

// 验证2D旋转的正交性
R(θ) = [cosθ  -sinθ]
       [sinθ   cosθ]

Rᵀ·R = [cosθ  sinθ] [cosθ  -sinθ] = [cos²θ+sin²θ     0      ] = [1  0] = I  ✓
        [-sinθ cosθ] [sinθ   cosθ]   [   0      cos²θ+sin²θ]   [0  1]

7.6.3 欧拉角与万向锁

欧拉角用三个绕基本轴的旋转组合表示任意旋转：

R_euler = Rx(α) · Ry(β) · Rz(γ) （ZYX顺序，最常用）

旋转顺序	应用场景	备注
ZYX（偏航-俯仰-翻滚）	飞行器/相机	最常见的约定
XYZ	一般物体	欧拉角顺序不同，结果不同
ZXZ	机器人	避免万向锁问题

万向锁（Gimbal Lock）：当第二次旋转为±90°时，第一次和第三次的旋转轴对齐，导致自由度从3丢失到2。这是欧拉角的固有问题，用矩阵组合或四元数可以避免。

🤔 想一想：为什么欧拉角有万向锁但矩阵组合没有？

欧拉角的三个旋转是"顺序依赖的级联"——先做A再做B再做C。当B=90°时，A和C的旋转轴重合了。矩阵组合直接使用Rodrigues公式表示单一旋转，不存在分解成三个基本旋转的问题——整个旋转就是一个矩阵乘法。

7.7 法线变换——初学者最容易犯的错误

⚠️ 核心警告：千万不能用模型矩阵直接变换法线！

图7-4：法线变换错误——非均匀缩放后，直接使用模型矩阵变换的法线不再垂直于表面

7.7.1 错误示范

// ❌ 错误！这是初学者最常见的错误
incorrect_normal = model_matrix * vertex_normal

为什么错了？因为法线是方向，不是位置。更准确地说：法线是垂直于表面的方向，但顶点变换后，表面的朝向可能改变。特别是非均匀缩放时，直接用模型矩阵变换法线会得到错误的结果。

7.7.2 正确推导

假设模型矩阵 M 包含缩放和旋转：

表面上两点构成切线 t，变换后 t' = M · t（因为t是方向向量，w=0不受平移影响）
法线 n 满足 n · t = 0（法线垂直于表面，即垂直于切线）
变换后的法线 n' 应满足 n' · t' = 0

n' · t' = 0
n' · (M·t) = 0                     // t' = M·t

假设 n' = X·n（存在某个矩阵X将法线变换到正确方向）：
(X·n) · (M·t) = 0
(X·n)ᵀ · (M·t) = 0                  // 点积写成矩阵乘法
nᵀ · Xᵀ · M · t = 0

// 因为 nᵀ · t = 0（变换前法线垂直于切线），所以：
Xᵀ · M = I  →  X = (M⁻¹)ᵀ

正确法线变换 = 模型矩阵的逆转置矩阵

// ✅ 正确做法
correct_normal = normalize(transpose(inverse(model_matrix)) * vertex_normal)

// 简化形式（仅当M只有旋转和平移，没有非均匀缩放时）
// 旋转矩阵的逆 = 转置，所以逆转置 = 原始矩阵
correct_normal = model_matrix * vertex_normal  // 仅限纯旋转或均匀缩放！

7.7.3 经典例子

NVIDIA开发者文档中的经典例子：一个斜面（45°倾角），在x方向拉伸2倍。

原始法线 (归一化前)：n = (1, 1, 0)
模型矩阵 M = S(2, 1, 1)  // 非均匀缩放

// ❌ 直接用M变换法线
n'_wrong = M·n = (2, 1, 0)  ← 不再垂直于新表面！

// ✅ 用逆转置变换法线
(M⁻¹)ᵀ = [1/2  0; 0  1]
n'_correct = (M⁻¹)ᵀ·n = (0.5, 1, 0) ← 正确垂直于新表面！

7.7.4 实践技巧

变换类型	法线矩阵	可否简化
纯旋转	R	= R（旋转矩阵逆=转置，所以逆转置=R）✓
旋转+平移	R（3×3部分）	= R（平移不影响方向）✓
均匀缩放+旋转	S·R	= (1/s)·R（归一化后可抵消缩放）✓
非均匀缩放+旋转	(M⁻¹)ᵀ	必须完全计算 ✗

// 在CPU上预计算法线矩阵
mat3 normal_matrix = transpose(inverse(mat3(model_matrix)));

// 在GPU着色器中
vec3 world_normal = normalize(normal_matrix * vertex_normal);

7.8 窗口变换（完整变换管线）

7.8.1 总览

从3D场景最终显示到屏幕窗口，经历了多步变换。这就是图形学中的"变换管线"：

p_screen = M_viewport · M_projection · M_view · M_model · p_local

图7-5：窗口变换管线——局部坐标 → 世界坐标 → 相机视野 → NDC → 屏幕像素

7.8.2 各步骤详解

第一步：模型变换（局部 → 世界）

M_model = T(tx, ty, tz) · R(θ) · S(sx, sy, sz)

将物体的局部坐标变换到世界坐标。通常按"先缩放、再旋转、再平移"的顺序组合。

第二步：视图变换（世界 → 相机）

M_view = [u⃗, v⃗, w⃗, -e]（将相机移到原点，视线对齐到-z轴）

第三步：投影变换（相机 → 标准化设备坐标NDC）

透视投影（将视锥体映射到 [-1, 1]³ 立方体）：

M_perspective = 
[2n/(r-l)    0      (r+l)/(r-l)       0    ]
[   0      2n/(t-b)  (t+b)/(t-b)       0    ]
[   0         0      -(f+n)/(f-n)  -2fn/(f-n)]
[   0         0          -1           0    ]

符号	含义	示例值
l, r	近平面左右边界	-0.1, 0.1
b, t	近平面上下边界	-0.1, 0.1
n	近裁剪面距离	0.1
f	远裁剪面距离	100

为什么投影矩阵第4行是 (0, 0, -1, 0)？

因为透视需要"除以z"来完成近大远小。矩阵将z值存入w分量，后续透视除法时：w' = -z，远物（|z|大）→ w'大 → 屏幕坐标小（近大远小效果）。这就是透视投影的"魔法"。

正交投影（不产生透视效果）：

M_orthographic =
[2/(r-l)    0        0     -(r+l)/(r-l)]
[   0     2/(t-b)     0     -(t+b)/(t-b)]
[   0        0     2/(n-f)  -(n+f)/(n-f)]
[   0        0        0          1      ]

第四步：视口变换（NDC → 屏幕坐标）

将 [-1, 1]³ 的NDC坐标映射到屏幕像素坐标：

M_viewport = 
[nx/2    0     0   (nx-1)/2]
[ 0   ny/2    0   (ny-1)/2]
[ 0     0    1/2     1/2   ]
[ 0     0     0       1     ]

符号	含义	示例值
nx	屏幕宽度（像素）	1920
ny	屏幕高度（像素）	1080

7.8.3 完整变换例子

点 (2, 3, 4) 在局部坐标系，经过各步变换到屏幕：

// 步骤0：局部坐标
p_local = (2, 3, 4, 1)ᵀ

// 步骤1：模型变换（平移(1,0,0) + 缩放(2,2,2)）
M_model = [2 0 0 1; 0 2 0 0; 0 0 2 0; 0 0 0 1]
p_world = (5, 6, 8, 1)ᵀ

// 步骤2：视图变换（相机在(10,0,0)，注视原点）
p_camera = (-5, 6, 8, 1)ᵀ

// 步骤3：透视投影（l=-0.1,r=0.1,b=-0.1,t=0.1,n=0.1,f=100）
p_clip = (... , ..., ..., 5)ᵀ  // w=-z ⇒ w=5
// 透视除法：p_ndc = p_clip / w
p_ndc = (.../5, .../5, .../5)ᵀ

// 步骤4：视口变换（1920×1080）
p_screen = (..., ..., ..., 1)ᵀ

7.9 矩阵组合与顺序

7.9.1 变换的顺序很重要

M_total = M_n · ... · M_2 · M_1

应用顺序：从M₁开始（最右边），到M_n结束（最左边）。先做的变换在右边，后做的在左边。

非常重要：矩阵乘法不交换！先旋转再平移 ≠ 先平移再旋转。

// 先旋转再平移：点绕原点旋转后再移动
M = T(5, 0) · R(90°)
  = [1 0 5] [0 -1 0]   [0 -1 5]
    [0 1 0] [1  0 0] = [1  0 0]
    [0 0 1] [0  0 1]   [0  0 1]

// 先平移再旋转：点平移后在新的位置绕原点旋转
M' = R(90°) · T(5, 0)
   = [0 -1 0] [1 0 5]   [0 -1 0]
     [1  0 0] [0 1 0] = [1  0 5]
     [0  0 1] [0 0 1]   [0  0 1]

// 两者结果不同！
// 先旋转再平移：点(0,0)→旋转后还在(0,0)→平移后到(5,0)
// 先平移再旋转：点(0,0)→平移后到(5,0)→旋转后到(0,5)

7.9.2 标准组合模式

// 模式1：围绕自身中心旋转（自转）
// 1. 移动到原点   2. 旋转    3. 移动回去
M = T(position) · R(θ) · T(-position)

// 模式2：围绕任意点 p 旋转（公转）
M = T(p) · R(θ) · T(-p)    // 公式和上面一样！

// 模式3：在指定方向缩放
// 1. 旋转对齐轴   2. 缩放      3. 旋转回去
M = R(-θ) · S(1, sy, 1) · R(θ)

🤔 想一想：为什么"围绕自身中心旋转"要先平移到原点？

旋转矩阵总是绕原点旋转。如果物体不在原点，直接旋转会使物体围绕原点做圆弧运动（公转）而不是自转。先平移到原点→旋转→再平移回去=自转。这是图形学中最常用的变换技巧之一。

7.10 变换矩阵总结

矩阵	3D齐次形式	逆矩阵
平移	[I t; 0 1]	[I -t; 0 1]
缩放	[S 0; 0 1]	[1/s 0; 0 1]
旋转	[R 0; 0 1]	[Rᵀ 0; 0 1]（正交矩阵逆=转置）
透视投影	见7.8节	复杂

核心洞察：变换矩阵是计算机图形学的"语法"——它用数学表达式统一描述了所有几何变换。从物体建模（局部坐标）到最终屏幕显示，每一步都是矩阵乘法。

变换阶段	从 → 到	矩阵	作用
模型变换	局部 → 世界	M_model	放置物体到场景中
视图变换	世界 → 相机	M_view	从相机视角观察
投影变换	相机 → NDC	M_projection	透视/正交投影（近大远小）
视口变换	NDC → 屏幕	M_viewport	映射到像素坐标

一句话总结：变换 = 矩阵乘法组合，法线变换要用逆转置（非均匀缩放时必须），旋转矩阵来自极坐标→三角恒等式的推导，窗口变换从局部到屏幕经历四次矩阵乘法。