第11章：纹理映射 — 零基础讲义

讲义说明
本讲义基于 Steve Marschner & Peter Shirley 所著《虎书5》第5版第11章（p.255-290）。
本章是图形学的"皮肤"——它告诉你：怎么把一张 2D 图像"贴"到 3D 物体表面。
学完本章，你将真正理解 mipmap、立方体贴图、阴影贴图、Bump Map、过程纹理等核心概念。
本版插画采用 Guizang 材质插画风格重新绘制。

学习目标

1. 理解纹理查找的"3 个空间"：物体/世界/相机/纹理空间的关系
2. 掌握纹理坐标函数——怎么把 3D 点映射到 2D 纹理
3. 掌握插值纹理坐标——三角形内部怎么插值
4. 理解抗锯齿纹理查找——为什么纹理会出现锯齿
5. 掌握mipmap——纹理的金字塔采样
6. 理解各向异性过滤——为什么远处的地板要特别处理
7. 掌握常见纹理应用：Bump/Normal Map、Displacement、Shadow、Environment
8. 理解3D 过程纹理：noise、turbulence、stripe

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11.0 本章动机：为什么需要纹理？

11.0.1 一切从"丑陋的色块"开始

想象你渲染了一个 3D 球。光照、阴影都对——但球的表面就是一个均匀的红色，没有任何细节。你永远不会相信这是一个"真实"的球。为什么会这样？因为现实世界的物体表面几乎都不是单一颜色——木头有纹路、布料有纤维、皮肤有毛孔、石头有凹凸。

最简单的解决办法是什么？

答：把一个高分辨率的 2D 图像（"纹理图"）"贴"到 3D 物体表面。这个过程就叫纹理映射（Texture Mapping）。

11.0.2 三个空间的"翻译游戏"

纹理映射本质上是一个翻译游戏——把 3D 世界坐标翻译成 2D 纹理坐标。这个翻译函数的名字叫 φ（phi）：

世界物体 S → 视图投影 π → 屏幕 → 纹理坐标函数 φ → 纹理 T

    3D 点 (x,y,z)  ───π───→  屏幕像素 (i,j)
                          │
                          └──φ──→  纹理坐标 (u,v) → 颜色 RGB

符号	名称	含义
S	场景物体	3D 世界中的几何体（球、人物、地面）
π	视图投影	把 3D 点投影到 2D 屏幕的相机变换（已知）
φ	纹理坐标函数	把 3D 点映射到 2D 纹理坐标的函数（待设计）
T	纹理	2D 图像（一堆像素，每个像素有颜色）

11.0.3 简单映射为什么不够用？

最笨的办法：直接把 3D 点的 x, y 当成纹理坐标 u, v。

// 简单映射
u = x
v = y

这个方法在轴对齐的平面上能用，但只要物体倾斜一下，纹理就会"拉伸"——比如一面斜放的墙上，砖块都被拉成了平行四边形。弯曲表面就更没救了。

根本原因：简单映射只对"轴对齐的平面"有效。任意朝向的表面，需要更聪明的 φ 函数。

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11.1 查找纹理值

11.1.1 纹理查找的代码

假设我们已经知道表面点的纹理坐标 (u, v)，怎么从纹理图上取出对应的颜色？

// 最简单的纹理查找（不考虑抗锯齿）
function texture_lookup(Texture t, float u, float v):
  // 把 [0,1] 的纹理坐标映射到像素索引
  // 减 0.5 是因为像素中心位于 i+0.5
  int i = round(u * t.width()  - 0.5)
  int j = round(v * t.height() - 0.5)
  return t.get_pixel(i, j)

符号	含义
u, v	归一化的纹理坐标，范围通常 [0, 1]
t.width(), t.height()	纹理的像素分辨率（如 1024×1024）
i, j	像素的整数索引（从 0 开始）
round(... - 0.5)	四舍五入到最近的像素中心
get_pixel(i, j)	取出该像素的颜色（RGB）

11.1.2 这是"最近邻采样"——会有锯齿

上面这段代码就是点采样（Point Sampling），也叫最近邻采样（Nearest Neighbor）。它有两个致命问题：

1. 锯齿（Aliasing）：远处的物体会出现明显的"马赛克"，因为一个像素只采了 1 个纹素（texel）
2. 摩尔纹（Moiré Patterns）：当纹理的频率接近屏幕采样频率时，会出现奇怪的干涉条纹

为什么会有锯齿？ Ch10 已经讲过——采样率不足。当 1 个屏幕像素覆盖了多个纹素（远处物体）时，我们只取了 1 个纹素的值，丢掉了其他纹素的信息。这种"欠采样"是所有视觉锯齿的根源。

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11.2 纹理坐标函数

11.2.1 几何确定的坐标——φ 的 5 种实现

φ 函数的 5 种"现成"实现方式——每种都基于物体的几何形状：

方法 1：平面投影（Planar Projection）

适用：表面大致平面的物体（地板、墙、广告牌）。

// 把 3D 点直接当成 2D 坐标
φ(x, y, z) = (u, v) where [u, v, *, 1]ᵀ = M_t · [x, y, z, 1]ᵀ

方法 2：投影纹理（Projective Texture）

核心思想：用 4×4 矩阵（投影矩阵）做透视投影——和相机投影场景的原理完全一样！

// 4×4 投影矩阵
φ(x, y, z) = (u/w, v/w) where [u, v, *, w]ᵀ = P_t · [x, y, z, 1]ᵀ

应用：投影纹理（projector）、阴影贴图（shadow map）。

场景	用途
投影仪	把一张图"投影"到任何表面上
阴影贴图	从光源视角"看"场景，记录深度
环境光照	从某点"看"环境贴图，模拟间接光

方法 3：球面坐标（Spherical Coordinates）

适用：球形 / 近球形物体（地球仪、星球、灯泡）。

// 把 3D 点转换成 (经度, 纬度)
φ(x, y, z) = ((π + atan2(y, x)) / 2π,    // u = 经度 [0,1]
              (π - acos(z / ||x||)) / π)   // v = 纬度 [0,1]

符号	含义
atan2(y, x)	点 (x,y) 的极角（范围 [-π, π]）
acos(z / ||x||)	从 z 轴算起的极角（范围 [0, π]）
||x||	向量长度 sqrt(x² + y² + z²)

方法 4：圆柱坐标（Cylindrical Coordinates）

适用：柱形物体（杯子、树干、铅笔）。

φ(x, y, z) = ((1 / 2π) · (π + atan2(y, x)),    // u = 角度 [0,1]
              ½ · [1 + z])                       // v = 高度 [0,1]

圆柱坐标和球面坐标很像，但 v 方向直接用 z（线性），不会有极点失真问题。

方法 5：立方体贴图（Cubemap）

适用：环境光照、反射（最常用）。

核心思想：用 6 个正方形纹理分别对应立方体的 6 个面。查找时，根据光线方向判断用哪个面：

// 6 个面的投影
φ_±x(x, y, z) = ½ [1 ± (-y, -z) / |x|]
φ_±y(x, y, z) = ½ [1 ± (x, -z) / |y|]
φ_±z(x, y, z) = ½ [1 ± (x, -y) / |z|]

// 选择 |·| 最大的那一面
chosen_face = argmax(|x|, |y|, |z|)

11.2.2 插值纹理坐标（最常用的方法）

对于复杂的任意形状物体（如恐龙模型），几何方法难以构造纹理坐标。怎么办？

答案：在顶点存储纹理坐标，三角形内部用重心插值。这就是 OpenGL/UE/Unreal 的标准做法。

// 三角形三个顶点 (u₀, v₀), (u₁, v₁), (u₂, v₂)
// 内部点 (α, β, γ) 的纹理坐标
u = α · u₀ + β · u₁ + γ · u₂
v = α · v₀ + β · v₁ + γ · v₂

// 其中 α + β + γ = 1，且都 ≥ 0

符号	含义
(u₀, v₀), (u₁, v₁), (u₂, v₂)	三个顶点的纹理坐标（顶点属性）
α, β, γ	重心坐标（决定内部点位置）
α + β + γ = 1	重心坐标的归一化条件

11.2.3 UV 展开：把 3D 摊成 2D

对于任意形状的 3D 物体，怎么决定每个顶点的 UV 坐标？这就是 UV 展开（UV Unwrapping）——把 3D 表面"剪开"成 2D 平面。

例子：20 面体（Icosahedron）的 UV 展开

• 优点：失真为零（每个三角形大小相同）
• 缺点：接缝多（每个三角形都要接到下一行）

UV 展开品质的 3 个评估指标：

指标	含义
连续性（continuity）	相邻三角形共享 UV → 自动满足
单射性（injectivity）	UV 区域内不重叠（无"自交"）
失真最小	3D 和 2D 三角形面积/形状比例接近 1

11.2.4 平铺、包裹和纹理变换

3 种 wrap mode（包裹模式）：

模式	行为	应用
Tiling（平铺）	超出 [0,1] 后取模（重复）	棋盘、墙砖、地面
Clamping（钳制）	超出 [0,1] 后固定为 0 或 1	单一图像（贴 logo）
Hybrid（混合）	边缘 wrap + 内部 tile	棋盘的边框

纹理变换：在原 UV 上叠加 2D 仿射变换

φ'(x) = M_T · φ_model(x)

其中 M_T 是一个 3×3 矩阵：
| cosθ  -sinθ  tx |
| sinθ   cosθ  ty |
|  0      0     1 |

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11.3 抗锯齿纹理查找

11.3.1 像素的"足迹"（Footprint）

抗锯齿的核心思想：不要只采 1 个纹素，要采一片纹素并加权平均。这一片纹素就叫像素的"足迹"（footprint）。

关键问题：不同位置的像素，对应的纹理区域大小和形状都不同！

位置	足迹大小	形状
近处物体	小（只覆盖少量 texel）	近似正方形
远处物体	大（覆盖很多 texel）	近似正方形
斜视的地面/墙壁	大	长条形

足迹的数学表达：

ψ = φ ∘ π⁻¹     // 把屏幕坐标映射回纹理坐标
footprint(x) = ψ(像素面积)   // 像素的 1×1 正方形 → 纹理的某个区域

11.3.2 足迹的线性近似（Jacobian 矩阵）

用 Jacobian 矩阵 J 近似足迹：

J = [ ∂u/∂x  ∂u/∂y ]
    [ ∂v/∂x  ∂v/∂y ]

几何意义：单位像素面积 → J 决定的平行四边形（足迹）

filter 宽度 D：

符号	含义
u_x, u_y	J 的两列向量（足迹的两个主方向）
||·||	向量的长度
D	足迹的"直径"——需要采样的纹素数

11.3.3 重建（Reconstruction）——放大情况

当足迹 < 1 个 texel（放大）：

重建 = 插值 = 卷积 with reconstruction filter。最常用：双线性插值（4 个 texel 加权平均）

def tex_sample_bilinear(Texture t, float u, float v):
    # 1. 把 [0,1] 纹理坐标缩放到像素坐标
    u_p = u * t.width  - 0.5
    v_p = v * t.height - 0.5
    
    # 2. 找到周围 4 个像素
    iu0 = floor(u_p); iu1 = iu0 + 1   # 左、右
    iv0 = floor(v_p); iv1 = iv0 + 1   # 下、上
    
    # 3. 计算权重（距离 4 个像素的距离）
    a_u = iu1 - u_p; b_u = 1 - a_u     # 水平权重
    a_v = iv1 - v_p; b_v = 1 - a_v     # 垂直权重
    
    # 4. 加权平均 4 个 texel
    return a_u * a_v * t[iu0][iv0]   # 左下 \
         + a_u * b_v * t[iu0][iv1]   # 左上 \
         + b_u * a_v * t[iu1][iv0]   # 右下 \
         + b_u * b_v * t[iu1][iv1]   # 右上

变量	含义
u_p, v_p	像素空间的浮点坐标
iu0, iu1	左、右两个像素索引（整数）
a_u, b_u	对左、右两个像素的权重（距离反比）
a_u + b_u = 1	权重和为 1（凸组合）

11.3.4 Mipmap —— 缩小情况

问题：当足迹 > 1 个 texel 时（缩小），直接采样会锯齿/混叠。

Mipmap 解决方案 = 预计算的多分辨率纹理。每层都是上一层的 1/2 缩放。

M0:  1024×1024   (原图)
M1:   512×512    (1/2)
M2:   256×256
M3:   128×128
...
M10:    1×1

Mipmap 的 3 大优势：

1. 内存可控：多 33% 内存（1 + 1/4 + 1/16 + ... < 4/3）
2. 采样时根据足迹大小选择层：自动适配远近物体
3. 抗锯齿效果立竿见影：比点采样好 10 倍

Mipmap 层选择公式：

k0 = floor(k); k1 = k0 + 1
# 在两层间线性插值（trilinear 过滤）
result = a · M[k0] + b · M[k1]

参数	含义
D	filter 宽度（足迹直径）
k	目标 mipmap 层级（连续值）
k0, k1	夹住 k 的两个整数层
a, b	两层间的插值权重，a + b = 1

11.3.5 各向异性过滤

问题：当足迹是长条形（如远处的地面），mipmap 会过度模糊。

原因：mipmap 只考虑方形区域。对于长条形足迹，它只能选一个"最坏"的方形 mip 层，结果是垂直方向模糊、水平方向也模糊——但我们其实只想要垂直方向模糊。

各向异性过滤 = 沿长条形方向多次采样

# 各向异性过滤伪代码
# 1. 计算足迹的长宽比
λ = max(||u_x||, ||u_y||) / min(||u_x||, ||u_y||)

# 2. 沿长边方向采 N 次（向上取整到 1, 2, 4, 8, 16）
N = clamp(round(λ), 1, 16)

# 3. 在长条形上等距采 N 个样本并平均
color = 0
for i in 0..N-1:
    t = (i + 0.5) / N
    pos = center + t * (long_axis)
    color += sample_mipmap(pos)
return color / N

质量	样本数	适用
point	1	最差，1 个纹素
bilinear	4	基本无锯齿
trilinear	8（2 层 × 4 像素）	远近过渡平滑
anisotropic 2x	2 × 4 = 8	地面/墙面的标准
anisotropic 16x	16 × 4 = 64	极限质量

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11.4 纹理映射的应用

11.4.1 控制着色参数

纹理不只能控制漫反射颜色——它能控制几乎任何着色参数：

用途	纹理内容	图11.x
漫反射颜色	砖墙、木纹、布料图案	图11.18
镜面反射率	抛光区（白色=高光，黑色=粗糙）	图11.20
粗糙度	磨砂区	—
环境贴图	模拟天空/灯光	图11.32
凹凸/法线	表面细节（不真改几何）	图11.24
位移	真凹凸（改顶点）	图11.25
阴影	光源视角的深度图	图11.27

例子：图11.20 陶瓷马克杯的镜面粗糙度由反相的漫反射纹理控制——白色部分代表高光，黑色部分代表粗糙。这种"用一个纹理的不同颜色通道"的做法在游戏里非常常见。

11.4.2 法线贴图和凹凸贴图

法线贴图 = 存储 3D 法线（扰动后的）。

为什么需要法线贴图？

直接在着色时改 normal = 看起来像有凹凸。比真实几何便宜 1000 倍。一块砖墙的法线贴图只需要 4 KB，但 1 千万个真实的砖头三角形要 1 GB。

凹凸贴图（Bump Map） = 高度场（1D 标量）

从高度场到法线的推导：

∂h/∂x → 沿 x 方向的斜率
∂h/∂y → 沿 y 方向的斜率

扰动后的法线:
n_perturbed = n + (-∂h/∂x) · t + (-∂h/∂y) · b

其中 t 和 b 是切线空间基向量（TBN 矩阵）

符号	含义
h(x, y)	高度场（凹凸贴图）
∂h/∂x, ∂h/∂y	沿两个切线方向的斜率
n	原始法线（未扰动）
t, b	切线空间的两个基向量（tangent, bitangent）
n_perturbed	扰动后的法线

切线空间（TBN 矩阵）：

• 存储在切线空间（相对表面）而非世界空间
• 原因：法线贴图需要随物体表面"一起动"
• 需要切线向量（T, B, N）

11.4.3 位移贴图（Displacement Maps）——真凹凸

真凹凸 = 移动顶点位置：

vertex.position += h(uv) · normal

优点：

1. 边缘和轮廓都正确（不是平面）
2. 能做自阴影（凹凸贴图做不到）
3. 光线交互是真实的

缺点：

1. 需要高密度网格（否则形变不够）
2. 内存和计算成本高
3. 不适合实时渲染（常用在离线渲染）

11.4.4 阴影贴图（Shadow Maps）

核心思想：从光源视角渲染一次深度图。

# Pass 1: 从光源看
shadow_map[每个像素] = 最近表面的深度

# Pass 2: 从相机看
for each fragment:
    # 1. 把 fragment 投影到光源的"屏幕"
    light_space_pos = light_proj × fragment_pos
    
    # 2. 查 shadow_map
    closest = shadow_map[light_space_pos]
    
    # 3. 比较
    if fragment.depth > closest + bias:
        in_shadow = True

参数	含义
light_proj	光源的视图-投影矩阵（和相机类似）
light_space_pos	fragment 在光源"屏幕"上的位置
closest	shadow_map 在该位置记录的最近深度
bias	阴影偏移（避免自影）

关键技术点：

• shadow bias：避免自影（self-shadowing）
• percentage closer filtering (PCF)：多次采样平均，让阴影边缘更柔和
• shadow acne：bias 不够大会出现斑点

💡 实战：UE / Unity 的实时光照基本都是用 shadow map（加 PCF）。

11.4.5 环境贴图（Environment Maps）

问题：漫反射光来自所有方向——不能用点光源或面光源近似。

环境贴图 = 整个 360° 颜色图

2 种表示：

类型	存储	优点	缺点
球面贴图（Spherical）	6 个面展开成"十字"形	连续	极点失真
立方体贴图（Cubemap）	6 个正方形	无失真	需要 6 张图

应用：

1. 反射贴图（Reflection Mapping）：镜面反射
2. 环境光照（Environment Lighting）：漫反射光

# 反射贴图伪代码
def shade_fragment(view_dir, normal):
    reflect = reflect(view_dir, normal)
    (u, v) = spheremap_coords(reflect)
    return texture_lookup(env_map, u, v)

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11.5 过程化 3D 纹理

11.5.1 为什么需要 3D 纹理？

2D 纹理的限制：

• 必须有 UV 参数化（很多时候很复杂）
• 有接缝和失真
• 不能"雕刻"立体感

3D 纹理 = 在 3D 空间定义的纹理

关键优势：直接在 3D 坐标取样——不需要 UV！把一个 3D 纹理函数 f(x, y, z) 想象成一个"无限延伸的纹理云"，无论你的表面在哪里，都直接用世界坐标取样。

11.5.2 3D 条纹

最简单的 3D 纹理 = 周期性切换两种颜色：

def RGB_stripe(point p):
    if sin(x_p) > 0:
        return c0    # 第一种颜色
    else:
        return c1    # 第二种颜色

可控宽度：

def RGB_stripe(point p, real w):
    if sin(π · x_p / w) > 0:
        return c0
    else:
        return c1

其中 w 控制条纹的"宽度"——w 越大，条纹越宽。

11.5.3 Perlin 噪声——"平滑的随机"

什么是"平滑噪声"？

特性	描述
在每个点是伪随机的	看起来杂乱无章
但相邻点相似（不跳跃）	看起来"自然"
类似 TV static 但更平滑	有"质感"

Perlin 噪声的实现：

• 3D 网格，每个格点有随机梯度
• 用 Hermite 三次插值（不是线性）

# Perlin 噪声数学公式
n(x, y, z) = Σᵢ Σⱼ Σₖ ω(x-i, y-j, z-k) · Γᵢⱼₖ

其中：
ω(t) = 2|t|³ - 3|t|² + 1   # Hermite 三次权重
Γᵢⱼₖ = 预计算的随机单位向量

符号	含义
ω(t)	Hermite 三次权重函数（保证 C¹ 连续）
Γᵢⱼₖ	网格点 (i, j, k) 的随机单位梯度向量
n(x, y, z)	Perlin 噪声函数值（通常 [-1, 1]）

应用：

• 石头、木纹、云、皮肤
• modular noise = 同一函数，不同参数

11.5.4 湍流（Turbulence）——多个频率的噪声叠加

湍流 = 多个频率的噪声叠加

# 湍流公式
n_t(x) = Σ |n(2ⁱ · x)| / 2ⁱ

i 从 0 到 N（典型 N = 6 ~ 8）

符号	含义
2ⁱ · x	第 i 层频率翻倍（2×, 4×, 8×, ...）
|n(...)|	取绝对值（避免负值抵消）
1 / 2ⁱ	每层的权重（高频贡献小）
n_t(x)	叠加后的湍流值

为什么用湍流？

单个 noise 太"平滑"（像鹅卵石）。湍流有"分形"感（细节无处不在）——像云、烟、火焰这种自然现象。原因是它把多个尺度的细节叠加起来：从大轮廓到小细节都有。

应用：云、烟、火焰、地形

Turbstripe 例子：

def RGB_turbstripe(point p, double w):
    double t = (1 + sin(k1 · z_p + turbulence(k2 · p))) / w
    return t · s0 + (1-t) · s1

把湍流作为正弦函数的相位扰动——条纹变得"扭曲"，模拟自然纹理（如大理石、木纹）。

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全章总结

讲义核心洞察：纹理映射是图形学的"皮肤"——

• 3 个空间：物体/世界/相机/纹理空间，φ 函数是核心
• 纹理坐标函数：平面/球面/圆柱/立方体/插值 UV
• 抗锯齿：足迹（footprint）→ mipmap → 各向异性
• 应用：Bump/Normal/Displacement/Shadow/Environment
• 3D 纹理：noise、turbulence、stripe

主题	核心公式/方法	关键洞察
纹理查找	t.get_pixel(round(u*W - 0.5), round(v*H - 0.5))	中心点采样，减 0.5 校正
几何 φ	平面 / 球面 / 圆柱 / 立方体	各有限制，闭合物体不单射
重心插值	u = α·u₀ + β·u₁ + γ·u₂	三角形内任意点的纹理坐标
双线性插值	4 texel 加权平均	放大情况的标准方案
Mipmap 层	k = log₂(D)	33% 内存换抗锯齿
各向异性	沿长边多次采样	长条形足迹的最佳方案
Bump 法线	n' = n + (-∂h/∂x)t + (-∂h/∂y)b	假凹凸，边缘还是平面
阴影判定	if (d > shadow_map[uv] + bias) 阴影	shadow bias 避免自影
Turbulence	n_t(x) = Σ |n(2ⁱ x)| / 2ⁱ	多个频率的噪声叠加

一句话总结：纹理映射 = 用 φ 函数把 3D 表面点映射到 2D 纹理 → 抗锯齿采样（双线性 + mipmap + 各向异性）→ 应用于漫反射/法线/位移/阴影/环境光 → 高级用 3D 过程纹理（noise + turbulence）。

下一步：第 12 章将讲解图形学的数据结构——mesh 怎么存？空间查询怎么做？这是所有游戏引擎的基础。