/ Ch14 物理渲染

第14章：物理渲染（Physically Based Rendering）— 零基础讲义

讲义说明
本讲义基于 Steve Marschner & Peter Shirley 所著《虎书5》第5版第14章（p.357-379）。
本章是图形学的"物理学"——它告诉你：怎么严格地用物理方程描述光的产生、传播、反射、折射、散射。
学完本章，你将真正理解 Path Tracing、BRDF、辐射度量学（Radiometry）等 PBR 核心概念。
本版插画采用 Guizang 材质插画风格重新绘制。

目录

学习目标

  1. 理解光子的本质——能量包
  2. 掌握辐射度量学（Radiometry）——每个量都先讲动机
  3. 理解BRDF——用"手电筒照射红球"的例子
  4. 掌握传输方程（Transport Equation）——从1D简化版开始
  5. 理解Fresnel方程——湖面"低头vs抬头"的直觉
  6. 掌握俄罗斯轮盘赌——PR=0.95的期望推导
  7. 理解Monte Carlo Path Tracing

14.1 光子（Photons）——光的"能量包"

14.1.1 光子的本质

核心定义：光子 = "携带能量的小包"

想象一下，光不是连续的"水流"，而是一颗一颗的"子弹"——每一颗子弹就是一个光子，携带一份确定的能量。

属性符号含义单位
位置x光子在空间中的坐标米
方向d光子前进的方向（单位向量）无量纲
波长λ决定了光的"颜色"（红≈700nm, 紫≈400nm）纳米（nm=10⁻⁹m）
能量q = hc/λ波长越短，能量越高（紫光比红光能量大）焦耳（J）

公式：q = hc / λ

拆解：

  • h = 普朗克常数（6.626×10⁻³⁴ J·s）——量子力学的"基本刻度"
  • c = 光速（3×10⁸ m/s）——宇宙速度上限
  • h·c = 约 1.99×10⁻²⁵ J·m ——两个常数的乘积
  • ÷λ = 波长越短，能量越高。紫光（400nm）能量是红光（700nm）的1.75倍
用中文说就是：每个光子就像一个小能量包，它的能量大小取决于颜色——蓝紫色的光子比红橙色的光子"更有劲"。这是因为蓝紫光波长更短，振荡频率更高。

14.1.2 图形学的简化

在图形学中，我们用几何光学近似——只关心光的直线传播、反射、折射。不考虑光的波动性和量子效应。这就是"光线"（ray）的概念来源：一个光子沿着一条直线飞行，直到碰到物体。

关键理解：渲染 = 模拟大量光子的传播过程。光源发射光子 → 光子击中物体 → 被反射/折射/吸收 → 部分进入相机 → 形成图像。用N个光子追迹，收集结果，取期望——这就是Monte Carlo物理渲染。

14.2 辐射度量学（Radiometry）——用消防水枪vs花洒来理解

14.2.1 动机：为什么需要这么多"尺子"？

想象你站在操场上，面前有一排消防水枪和一排花洒。

问题1：哪种更"亮"？

  • 消防水枪：功率大（每秒喷出很多水），但集中在小面积
  • 花洒：功率小（每秒喷出较少水），但覆盖大面积

如果只看功率，消防水枪赢了。但如果用单位面积接收到的水流量来看——消防水枪喷到的人"湿透了"，花洒只是"微微湿润"。

问题2：你站在远处和近处，哪个更"亮"？

  • 消防水枪：近处水流集中→很亮，远处水流扩散→变暗
  • 花洒：近处和远处差不多（因为本来就是散开的）

这就是为什么辐射度量学需要不同的"尺子"来量"光"——因为"亮"在不同的上下文中代表不同的物理量。

辐射度量学五量关系
图14-1：辐射度量学五量关系——从能量到功率到辐照度到辐射强度到辐射率，消防水枪vs花洒类比

14.2.2 辐射度量学五量体系

物理量符号定义单位生活类比
辐射能Q光的总能量J（焦耳）水池里的总水量
辐射通量/功率Φ = dQ/dt单位时间通过的能量W（瓦特）水龙头的流量（每秒流出的水）
辐照度E = dΦ/dA单位面积接收的功率W/m²你被淋得多湿（单位面积的水量）
辐射强度I = dΦ/dω单位立体角的功率W/sr手电筒的聚光程度
辐射率L = d²Φ/(dA·cosθ·dω)从特定方向看的亮度W/(m²·sr)你眼中看到的亮度

14.2.3 功率（Radiant Flux / Power）

Φ = dQ / dt   [W = J/s]

逐符号拆解：

  • dQ = 能量变化量（极小的时间段内）
  • dt = 时间变化量
  • dQ/dt = 单位时间内的能量变化 = 功率
用中文说就是：功率就是"每秒喷出多少光能量"。100W灯泡 vs 1000W探照灯——后者每秒喷出的能量是前者的10倍。

14.2.4 辐照度（Irradiance）

E = dΦ / dA   [W/m²]

逐符号拆解：

  • dΦ = 到达某点的功率
  • dA = 该点的微小面积
  • dΦ/dA = 单位面积上"落"了多少功率

立方反比定律：

E ∝ 1 / r²

同样是1W的灯光，在1米处辐照度是E₀，在2米处就是E₀/4——因为面积与距离平方成正比。

🤔 想一想：为什么星星那么远还能被看到？
因为我们的眼睛看的是辐射率（Radiance），不是辐照度。星星的辐照度确实随距离衰减（1/r²），但辐射率沿直线不变——星星在视网膜上成像的大小和距离一起变化，两个效应抵消了。

14.2.5 辐射率（Radiance）——最重要的量

L = d²Φ / (dA · cosθ · dω)   [W/(m²·sr)]

逐符号拆解——这个量为什么这么复杂？

  • d²Φ = 极小的一束功率
  • dA = 表面的微小面积
  • cosθ = 面积法线与光束方向的夹角余弦——斜着看时"有效面积"变小
  • dω = 光束的立体角——衡量"方向的范围有多宽"
🔥 核心洞察——辐射率不变性（Radiance Invariance）：

辐射率在真空中的光线传播路径上保持不变！这意味着：

  • 远处灯看起来和近处灯一样亮（不考虑大气衰减）
  • 渲染器不用考虑距离衰减——光线传播中L是常数
  • 这是PBR的"魔法"——它让渲染方程的数学变得一致
用中文说就是：辐射率 = "你眼睛看到的那个小点的亮度"。它综合了面积（dA）、方向（cosθ）、范围（dω）三个因素。最关键的是——它在光线传播过程中不会衰减！

14.3 光滑表面：Fresnel + Snell + Beer

14.3.1 Fresnel方程——湖面低头vs抬头

Fresnel湖面效应
图14-2：Fresnel湖面效应——垂直看水面≈2%反射（能看到水下），掠射角≈100%反射（水面如镜）

想象你站在一个平静的湖边：

  • 低头看（入射角≈0°，垂直看水面）：可以看到水底的石头、鱼——大部分光折射进入水中，只有约2%反射。水面几乎是透明的。
  • 抬头看（入射角≈90°，平视远方）：水面变成了一面完美的镜子——看到远山、天空的倒影。几乎100%的光被反射。

这就是Fresnel效应：入射角越大，反射率越高。

Schlick近似（工业标准公式，简化了精确Fresnel方程）：

R(θ) = R₀ + (1 - R₀)(1 - cosθ)⁵

逐符号拆解：

  • R(θ) = 入射角为θ时的反射率（0~1之间，0=全透射，1=全反射）
  • R₀ = 法向入射（θ=0°）的反射率。用折射率计算：R₀ = ((n-1)/(n+1))²
  • (1 - R₀) = 剩余的反射"潜力"（从法向到掠射角还能增加多少）
  • (1 - cosθ)⁵ = 随角度变化的"爬升曲线"——从0到1的变化形状

常见材料的R₀：

材料折射率R₀（法向反射率）典型表现
水1.33≈0.02（2%）透明，低反射
玻璃1.5≈0.04（4%）透明，中等反射
钻石2.42≈0.17（17%）透明，高反射
铝—（金属）≈0.9（90%）不透明，强反射

数值例子——水面的反射率变化：

入射角θcosθ(1-cosθ)⁵R(θ)（水，R₀=0.02）
0°（垂直）1.000.02（2%）
30°0.8660.000008≈0.02（2%）
60°0.50.031≈0.05（5%）
80°0.1740.367≈0.38（38%）
85°0.0870.634≈0.64（64%）
90°（掠射）01.01.0（100%）

14.3.2 Snell定律——光穿入介质会拐弯

n₁ · sinθ₁ = n₂ · sinθ₂

逐符号拆解：

  • n₁, n₂ = 两种介质的折射率（空气=1.0，水=1.33，玻璃=1.5）
  • θ₁ = 入射角（光线与法线的夹角，在介质1中）
  • θ₂ = 折射角（光线与法线的夹角，在介质2中）
用中文说就是：光从空气进入水中时速度变慢，所以它会"拐弯"向法线方向偏折。入射角越大，拐弯越明显。这就是为什么插入水中的筷子看起来是弯的。

14.3.3 全反射（Total Internal Reflection）

当光从高折射率介质进入低折射率介质时，超过某个角度就会发生全反射。

sinθ_c = n₂ / n₁

例子——水到空气：sinθ_c = 1.0/1.33 = 0.752 → θ_c ≈ 48.7°

水中角度 > 48.7°时，光线全部反射回水中——所以你从水下仰望水面时，只能看到一个银色的"窗口"，看不到外面的世界。

💡 实际应用：光纤通信利用全反射原理——光在光纤芯中传播时遇到包层发生全反射，能量几乎不损失地传输数公里。

14.3.4 Beer定律——光在介质中指数衰减

I(s) = I(0) · e^{-σ·s}

逐符号拆解：

  • I(0) = 进入介质时的初始光强
  • σ = 吸收系数（介质对光的吸收能力，越大吸收越快）
  • s = 光在介质中传播的距离
  • I(s) = 传播s距离后的剩余光强
用中文说就是：光在水中走的时候一点点被吸收，走的越远剩下的越少。而且是指数级的衰减——走1米衰减到一半，走2米就衰减到四分之一。

为什么海水是蓝色的？

不同波长的光在海水中的吸收系数不同：

  • 红光（λ≈700nm）：吸收系数大→衰减最快→水深1米后就基本消失
  • 绿光（λ≈550nm）：中等衰减
  • 蓝光（λ≈470nm）：吸收系数最小→衰减最慢→能穿透最深

所以深层海水看起来是蓝色的——因为红光和绿光都被吸收了，只剩下蓝光被散射回来。

14.4 BRDF——4D反射函数

BRDF几何定义
图14-3：BRDF几何定义——入射方向ωᵢ（手电筒），出射方向ωₒ（眼睛），球面法线n，手电筒照红球例子

14.4.1 什么是BRDF？

核心定义：BRDF（双向反射分布函数）= "从某个方向来的光，有多少被反射到另一个方向"

手电筒照红球的类比：

想象你用手电筒照射一个红色塑料球：

  • 手电筒从正前方照射（入射角0°）：从正前方看非常亮（明显红色），从侧面看很暗
  • 手电筒从侧面照射（入射角60°）：从侧面看明亮，从正前方看暗

BRDF回答的问题就是：给定入射方向（手电筒位置）和出射方向（你的眼睛位置），反射的亮度是多少？

数学定义：

f_r(ωᵢ, ωₒ) = dLₒ(ωₒ) / dE(ωᵢ)

逐符号拆解：

  • ωᵢ = 入射方向（指向表面）
  • ωₒ = 出射方向（指向观察者）
  • dLₒ(ωₒ) = 从表面向ωₒ方向反射的辐射率增量
  • dE(ωᵢ) = 从ωᵢ方向入射的辐照度
  • f_r = 比值 = BRDF（单位：1/sr）

14.4.2 BRDF的关键属性

1. 互易性（Reciprocity）：

f_r(ωᵢ, ωₒ) = f_r(ωₒ, ωᵢ)

交换入射和出射方向，结果不变。这是物理定律——光路的可逆性。

2. 能量守恒：

∫_Ω f_r(ωᵢ, ωₒ) · cosθₒ dωₒ ≤ 1

所有反射出去的能量之和 ≤ 入射能量。如果一个表面反射了90%的光，这个积分=0.9。

3. Lambertian（理想漫反射）：

f_r = ρ/π = 常数

理想漫反射体——从任何角度看都一样亮（粉笔、粗糙墙面）。ρ是反照率（albedo），除以π是为了归一化。

14.4.3 BRDF的Lobe类型

类型反射行为实际例子视觉效果
Diffuse各方向均匀反射粉笔、布料、纸张没有高光点
Specular沿镜面方向集中镜子、抛光金属锐利高光
Glossy介于两者之间塑料、刷过的金属模糊高光
Retroreflective反射回入射方向月球表面、反光路标眼睛看到亮光
Subsurface进入内部再出来皮肤、蜡、大理石柔和半透明

14.5 传输方程——从1D到3D

14.5.1 为什么先从1D开始？

完整的传输方程是在半球上积分的——这涉及到立体角、多重积分等复杂概念。我们先从一个极简的1D模型开始建立直觉，再扩展到3D。

传输方程1D简化
图14-4：传输方程1D简化——两个面对面平面互相反射，光在中间来回弹射

14.5.2 1D传输方程：两个相对的平行平面

场景设定：两个平行平面A和B，面对面放置。光在A和B之间来回反射。

1D传输方程：

Lₛ(x, d) = L_e(x, d) + R · L_f(x, -d)

逐符号拆解：

  • Lₛ(x, d) = 从点x朝方向d发出的辐射率
  • L_e(x, d) = 点x自身发射的辐射率（如果是光源才有，不然=0）
  • R = 反射率（0~1之间的常数，比如0.8表示反射80%）
  • L_f(x, -d) = 从方向-d到达点x的辐射率

关键理解：L_f(x, -d)本身又等于平面B上某点y发出的Lₛ(y, d')——形成递归。如果你展开这个递归：

展开多次弹射：

L = L_e + R·L_e + R²·L_e + R³·L_e + ... = L_e / (1 - R)

这就是无限几何级数！如果R=0.5，总辐射率 = L_e / (1-0.5) = 2·L_e。注意：R必须 < 1（能量守恒），否则发散。

用中文说就是：两个面对面的镜子，光在中间弹来弹去。每次弹射都反射一部分。把所有弹射加起来就是无穷级数。这就是"间接光照"的数学本质。

14.5.3 完整3D传输方程

Lₛ(x, ωₒ) = L_e(x, ωₒ) + ∫_Ω f_r(x, ωᵢ, ωₒ) · L_f(x, ωᵢ) · cosθᵢ dωᵢ

逐符号拆解——每个符号的物理意义：

符号含义类比
Lₛ(x, ωₒ)从点x向观察方向ωₒ发出的辐射率你眼睛看到的颜色
L_e(x, ωₒ)点x自身发射的辐射率（光源才非零）灯泡自己发光
f_r(x, ωᵢ, ωₒ)BRDF——从入射方向反射到出射方向的比例材料的"反射率词典"
L_f(x, ωᵢ)从方向ωᵢ到达点x的入射辐射率照到物体上的光
cosθᵢ入射角余弦——面积投影因子斜着照时有效面积缩小
dωᵢ入射方向的微分立体角极小的一束方向
∫_Ω对入射方向半球的所有方向积分收集所有方向来的光
🔥 核心洞察：传输方程是一个递归积分。每个点的出射辐射率取决于从所有其他表面反射过来的辐射率。而其他表面的辐射率又依赖于所有其他表面——包括它自己。这就是为什么渲染是"全局"的。

14.6 俄罗斯轮盘赌——无偏终止策略

俄罗斯轮盘赌决策树
图14-5：俄罗斯轮盘赌——以概率PR=0.95继续追踪（并除以PR补偿），以概率0.05终止（直接返回0）

14.6.1 问题：路径追踪可能无限

每次光线击中表面，我们递归地发射新的光线。理论上，一条光线可以在场景中反弹无限次。但计算机必须终止——否则程序永远跑不完。

简单截断（"反弹5次就停"）会导致能量损失——那些在第6次才进入相机的光就被丢掉了，导致画面偏暗。

14.6.2 俄罗斯轮盘赌的解决方案

核心思想：以概率PR继续追踪，以概率(1-PR)终止。但继续时把结果除以PR来补偿。

伪代码：

def trace_ray(ray, depth):
    hit = intersect(ray)
    if not hit:
        return background
    
    # 俄罗斯轮盘赌
    if random() < 0.95:         # 95%概率继续
        radiance = shade(hit) + trace_ray(reflect(ray), depth+1)
        return radiance / 0.95    # 除以PR补偿
    else:                          # 5%概率终止
        return 0                  # 直接返回0

期望值推导——PR=0.95的情况：

设真实的无偏贡献为X（如果不终止的情况）。

E[result] = PR × E[X/PR] + (1-PR) × 0

展开：

  • PR × E[X/PR] = PR × (E[X]/PR) = E[X]（关键：PR被约掉了！）
  • +(1-PR) × 0 = 0
  • ∴ E[result] = E[X] ✓
🔥 核心洞察：无论PR取多少（0.1还是0.99），期望值总是正确的！PR控制的是方差和计算量的平衡：
  • PR=0.95：继续概率高→视觉准确，但计算量大
  • PR=0.5：计算量小，但除以0.5放大贡献→方差大（图像噪点多）
  • PR=0.95是常见的平衡选择

14.6.3 完整路径追踪伪代码

def radiance(o, d):
    # 第一步：求交
    hit = intersect(Ray(o, d))
    if not hit:
        return background_color
    
    p = hit.point
    
    # 第二步：直接光采样（从光源直接发出的光）
    direct = Color(0, 0, 0)
    for light in scene.lights:
        light_dir = sample_light(light, p)     # 在光源上采样方向
        if not occluded(p, light_dir):          # 检查是否被遮挡
            direct += brdf(p, -d, light_dir) * light.radiance * cos_theta
    
    # 第三步：间接光（俄罗斯轮盘赌控制递归）
    if random() < 0.95:
        q = importance_sample_brdf(p, -d)       # 按BRDF重要性采样
        indirect = brdf(p, -d, q) * cos_theta * radiance(p, q) / pdf(q) / 0.95
    else:
        indirect = Color(0, 0, 0)
    
    # 第四步：返回总和 = 自发光 + 直接光 + 间接光
    return emitted(p) + direct + indirect

14.7 Monte Carlo光线追踪算法

14.7.1 传输方程的MC估计

传输方程的Monte Carlo估计形式：

Lₛ(ωₒ) ≈ f_r(q, ωₒ) · L_f(q) · cosθ / p(q)

其中q是从某个采样分布p中采样的方向。

用中文说就是：我们不用真的积分所有方向（那太慢了），而是随机采样几个方向，用概率密度函数来"校正"估计值。采样的方向越多，估计越准确。

14.7.2 从相机出发 vs 从光源出发

策略过程效率
从光源出发光源发射光子→随机弹射→极少数进入相机极低（大多数光子浪费）
从相机出发从相机发射光线→求交→递归→到达光源极高（每条光线都有用）
💡 效率差距：从相机出发比从光源出发快1000倍以上。这就是为什么所有实际路径追踪器都从相机出发。

14.7.3 直接光 vs 间接光

类型路径采样方法视觉效果
直接光光源→物体→相机（一次弹射）在光源上直接采样方向清晰的阴影、明亮的高光
间接光光源→物体A→物体B→...→相机（多次弹射）BRDF重要性采样+俄罗斯轮盘赌颜色溢出、柔和环境光

14.7.4 景深与运动模糊

景深（Depth of Field）：真实镜头有有限孔径，不是针孔相机。薄透镜公式：

1/a + 1/b = 1/f

在镜头上随机采样不同的位置→产生散焦模糊。

运动模糊（Motion Blur）：在曝光时间内采样不同时间点→运动物体随时间变化位置→拖影效果。

14.8 实际BRDF模型

14.8.1 Disney Burley BRDF

迪士尼的Burley BRDF是工业标准——它用艺术家友好的参数控制材质外观：

参数范围含义0的值1的值
baseColor[0,1]³基础颜色（漫反射色）纯黑纯白
metallic[0,1]金属度绝缘体（塑料、木头）纯金属
roughness[0,1]粗糙度完美光滑（镜面）完全粗糙
specular[0,1]镜面反射强度无高光最强高光
clearcoat[0,1]清漆层强度无清漆强清漆

组合公式：最终颜色 = Diffuse + Specular + Sheen + Clearcoat

💡 为什么流行：直觉的参数让艺术家不需要理解BRDF背后的数学。你只需要说"这是0.2 roughness的红色塑料"，而不是"使用GGX分布，α=0.04，F₀=(0.04,0.04,0.04)"。

14.9 零基础术语对照表

英文术语中文一句话理解首次出现
Radiometry辐射度量学量光的"尺子"体系14.2
Radiant Flux / Power辐射通量/功率每秒流出的光能量14.2.2
Irradiance辐照度单位面积接收到的功率14.2.3
Radiance辐射率从特定方向看的亮度14.2.4
BRDF双向反射分布函数光反射的"词典"14.4
Fresnel菲涅耳反射率随入射角变化14.3.1
Snell's Law斯涅尔定律光穿过界面会拐弯14.3.2
Beer's Law比尔定律光在介质中指数衰减14.3.4
Transport Equation传输方程光的"递归积分"方程14.5
Russian Roulette俄罗斯轮盘赌无偏的随机终止策略14.6
Path Tracing路径追踪用光线路径模拟光的传播14.7
Solid Angle立体角方向的范围（3D角度）14.2
Importance Sampling重要性采样优先采重要的方向14.7
Monte Carlo蒙特卡洛用随机采样估计积分14.7

14.10 常见问题（FAQ）

Q1：为什么不能用辐照度代替辐射率？

A：辐照度只告诉你"有多少光落到这个点上"，不告诉你"光从哪个方向来"。但渲染需要知道方向——因为BRDF依赖于入射和出射方向。辐射率 = 辐照度 + 方向信息（通过立体角）。

Q2：辐射率沿直线不变，那光在场景中不会衰减吗？

A：辐射率在真空中沿直线不变。但光从表面反射时，BRDF会"分配"能量到不同方向——整体能量守恒，但特定方向的辐射率会因为BRDF的散射而变化。另外，在参与介质（雾、烟）中，辐射率会因为散射和吸收而衰减。

Q3：为什么从相机出发而不是从光源出发？

A：从光源发射大部分光子永远不会进入相机——它们在场景中乱弹然后被吸收。从相机出发，每条光线都对应一个像素，100%有用。这叫做"重要性驱动"的采样策略。

Q4：俄罗斯轮盘赌的PR怎么选？

A：理论上任何PR值都无偏。PR越大（如0.95），光线弹射次数多→图像更精确，但计算更慢。PR越小（如0.5），弹射少→速度快，但除以PR放大了每次贡献→方差大。0.7~0.95是常见选择。

Q5：BRDF的能量守恒条件怎么理解？

A：积分 ∫f_r · cosθₒ dωₒ ≤ 1 的意思是："把BRDF在所有出射方向上积分，不能超过1"。如果等于0.5，说明表面反射了50%的能量，另外50%被吸收了（变成热能）。

Q6：Fresnel和BRDF是什么关系？

A：Fresnel方程是BRDF的组成部分。一个完整的BRDF = 漫反射项 + 镜面反射项。镜面反射项中，反射率由Fresnel方程决定。所以Fresnel告诉BRDF："大角度入射时多反射一些"。

🤔 想一想：如果没有俄罗斯轮盘赌，只用固定深度截断（比如max_depth=5），渲染结果会怎样？
结果会看起来偏暗（能量损失）。想象一个全是镜面的房间——光在其中弹射很多次。固定深度=5意味着第6次及以后的弹射都被丢弃了。画面中那些应该由多次弹射照亮的区域就会变暗。这就是俄罗斯轮盘赌要解决的问题：它不会丢弃能量，只是随机分配。

14.11 数值例子：完整的1D传输方程计算

假设两个平面A和B：

  • 只有平面A发光，L_e = 100 W/(m²·sr)
  • 两个平面的反射率都是 R = 0.8

第0次弹射：L₀ = L_e = 100（直接从A发出）

第1次弹射：L₁ = R · L₀ = 0.8 × 100 = 80（A→B反射回来）

第2次弹射：L₂ = R · L₁ = 0.8 × 80 = 64

第3次弹射：L₃ = R · L₂ = 0.8 × 64 = 51.2

第4次弹射：L₄ = R · L₃ = 0.8 × 51.2 = 40.96

第5次弹射：L₅ = R · L₄ = 0.8 × 40.96 = 32.77

总辐射率 = 100 + 80 + 64 + 51.2 + 40.96 + 32.77 + ...

= L_e / (1-R) = 100 / 0.2 = 500 W/(m²·sr)

验证前5项之和：100+80+64+51.2+40.96+32.77 = 368.93，接近500——确实，还有更多项在贡献。

如果俄罗斯轮盘赌PR=0.95：期望每次有95%的概率继续，这意味着平均弹射次数 = 1/(1-0.95) = 20次。对于R=0.8，第20次弹射的贡献 = 100 × 0.8²⁰ = 100 × 0.0115 = 1.15——已经很小了，说明PR=0.95足够捕捉几乎所有能量。

全章总结

讲义核心洞察：PBR = "用物理方程严格描述光的传播"——
  • 辐射度量学：消防水枪vs花洒——功率 vs 辐照度 vs 辐射率
  • BRDF：手电筒红球——4D反射函数
  • Fresnel：湖面低头vs抬头——入射角越大反射越强
  • 传输方程：从1D两个平行平面开始理解递归积分
  • 俄罗斯轮盘赌：PR=0.95期望推导——无偏终止
  • Path Tracing：从相机出发，直接光+间接光递归

关键公式速查：

名称公式
Fresnel（Schlick近似）R(θ) = R₀ + (1-R₀)(1-cosθ)⁵
Snell定律n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂
Beer定律I(s) = I(0)·e^{-σ·s}
BRDFf_r(ωᵢ, ωₒ) = dLₒ / dE
辐照度E = dΦ/dA
辐射率L = d²Φ/(dA·cosθ·dω)
传输方程Lₛ = Lₑ + ∫ f_r·L_f·cosθᵢ dωᵢ
MC Path TraceLₛ ≈ f_r(q,ωₒ)·L_f(q)·cosθ/p(q)
俄式轮盘赌E[X/PR] = E[X]（无偏）

下一步：至此你已经掌握了完整的PBR渲染基础！可以继续阅读《Physically Based Rendering（Pharr, Humphreys）》或《Real-Time Rendering（Akenine-Möller）》深入。

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